Teoría cuántica de campos: operadores de campo en términos de operadores de creación/aniquilación

Estoy aprendiendo teoría cuántica de campos y hay un paso en mis notas que realmente no entiendo.

Comienza con las definiciones clásicas de posición. q y el impulso pag :

q = 1 2 ω ( a + a † )
y
pag = − i ω 2 ( a − a † ) .

a y a † siendo los operadores de aniquilación y creación.

Luego, define los operadores de campo. ϕ ( X ) y π ( X ) , equivalente a q y pag , de la siguiente manera:

ϕ ( X ) = ∫ d 3 pag ( 2 π ) 3 1 2 ω pag [ a pag mi i pag ⋅ X + a pag † mi − i pag ⋅ X ]

y

π ( X ) = ∫ d 3 pag ( 2 π ) 3 ( − i ) ω pag 2 [ a pag mi i pag ⋅ X − a pag † mi − i pag ⋅ X ] .

¿Hay una relación obvia entre las dos expresiones? ¿Qué suposiciones matemáticas y físicas se han hecho?

Respuestas (1)

Parece que hay un error en tu π ( X ) expresión: debe haber un signo menos cerca a ^ † .

La relación entre clásico y campo es obvia ya que el lagrangiano (hamiltoniano) de libre φ (no es dificil ver eso φ satisface la ecuación de Klein-Gordon) el campo se puede reescribir como lagrangiano del oscilador libre en términos de φ ^ , π ^ = φ ^ ˙ que se han introducido en su pregunta. Las diferencias entre las expresiones "clásicas" y de campo para las coordenadas y el momento se deben a que el campo en cada punto se puede representar como un conjunto de osciladores. Esto se sigue de hamiltoniano en términos de φ ^ , π ^ ):

L = 1 2 ( ( ∂ m φ ) 2 − metro 2 φ 2 ) ⇒ H ^ = ∫ T 00 d 3 r = ∫ ( ∂ L ∂ ( ∂ 0 φ ) ∂ 0 φ − L ) d 3 r =
= 1 2 ∫ d 3 r ( metro 2 φ 2 + π 2 + ( ∇ φ ) 2 ) .

Al introducir relaciones canónicas

[ a ^ ( pag ) , a ^ † ( pag ′ ) ] = d ( pag − pag ′ ) , [ a ^ ( pag ) , a ^ ( pag ′ ) ] = [ a ^ † ( pag ) , a ^ † ( pag ′ ) ] = 0
obtienes una correspondencia completa entre los operadores "clásicos" y "de campo" X ^ , pag ^ , φ ^ , π ^ (hasta función delta d ( X − X ′ ) ):

[ X ^ i , pag ^ j ] = i d i j , [ φ ^ ( X , t ) , π ^ ( y , t ) ] = i d ( X − y ) .

Corregí el error tipográfico. ¿Podría intentar reformular su respuesta, tal vez entrando en un poco más de detalle, por favor? Por ejemplo, ¿qué quiere decir matemáticamente con "el campo en cada punto se puede representar como un conjunto de osciladores"?
@Harold: He agregado alguna explicación.
Lo siento, no creo que esto responda a mi pregunta. Sólo quiero saber dónde están las expresiones para ϕ y π viene de. Puedo ver una similitud con los de q y pag , pero no entiendo el signo menos en el exponencial complejo junto a a †
@Harold: se necesita el signo menos para satisfacer la relación canónica [ X ^ , pag ^ ] = i .
@Harold: Si no hubiera un signo menos, ϕ y π sería proporcional, así que viaje...
Teoría cuántica de campos: operadores de campo en términos de operadores de creación/aniquilación
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