Evaluación del propagador sin el truco de épsilon

Antes de responder la pregunta más o menos directamente, me gustaría señalar que esta es una buena pregunta que proporciona una lección objetiva y abre una incursión en los temas de ecuaciones integrales singulares , continuación analítica y relaciones de dispersión . Aquí hay algunas referencias de estos temas más avanzados: Muskhelishvili, ecuaciones integrales singulares ; Courant & Hilbert, Métodos de Física Matemática, Vol. I , Capítulo 3; Teoría de la Dispersión en Física de Altas Energías, Queen & Violini; Eden et.al., La matriz S analítica . También hay una discusión condensada de 'funciones invariantes' en Schweber, An Intro to Relativistic QFT Ch13d .

La respuesta rápida es que, para$m^2 \in\mathbb{R}$, no hay "atajo". Uno debe elegir un camino alrededor de las singularidades en el denominador. La elección apropiada se rige por las condiciones de contorno del problema en cuestión. los$+i\epsilon$"truco" (no es un "truco") simplemente codifica las condiciones de contorno relevantes para la propagación causal de partículas y antipartículas en la teoría de campos.

Estudiamos brevemente la forma analítica de$G(x-y;m)$para demostrar algunas de estas características.

Nótese, primero, que para valores reales de$p^2$, la singularidad en el denominador del integrando señala la presencia de (a) punto(s) de ramificación. De hecho, [Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals , p29] el propagador de Feynman para el campo escalar (su ecuación) puede evaluarse explícitamente:

$$\begin{align} G(x-y;m) &= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \nonumber \\ &= \left \{ \begin{matrix} -\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & \textrm{ if }\, s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & \textrm{if }\, s < 0. \end{matrix} \right. \end{align}$$ dónde $s=(x-y)^2$.

La función de Hankel de primer orden de primer tipo$H^{(1)}_1$tiene un punto de ramificación logarítmica en$x=0$; también lo hace la función de Bessel modificada del segundo tipo,$K_1$. (Mira el pequeño$x$comportamiento de estas funciones para ver esto.)

Un punto de bifurcación indica que las condiciones de Cauchy-Riemann se han roto en$x=0$(o$z=x+iy=0$). Y el hecho de que estas singularidades sean logarítmicas es una indicación de que tenemos una singularidad de punto final [p. Edén et. al., cap. 2.1]. (Para ver esto, considere$m=0$, entonces el integrando,$p^{-2}$, tiene un cero en el límite inferior de integración en$dp^2$.)

Volviendo a la cuestión de las condiciones de contorno, hay una buena discusión en Sakurai, Advanced Quantum Mechanics , Ch4.4 [NB: métrica "East Coast"]. Puede ver que para valores grandes de$s>0$de la expresión anterior tenemos una onda saliente de la forma asintótica de la función de Hankel.

Conectándolo de nuevo a las referencias originales que cité anteriormente, el$+i\epsilon$forma es una versión de la fórmula Plemelj [Muskhelishvili]. Y la expresión para el propagador es un tipo de integral de Cauchy [Musk.; Edén et al.]. Y estas nociones conducen rápidamente a los temas que mencioné anteriormente, ciertamente un panorama rico para la investigación.

Ampliando el comentario de dmckee:

los$+i\epsilon$-El truco tiene la bendición de los matemáticos del TOC porque se deriva directamente de un hecho profundo sobre el grupo de traducciones del espacio-tiempo: el grupo$\{e^{-i\langle P,x\rangle/\hbar}| x \in \mathbb{R}^n\}$de las traslaciones del espacio-tiempo es el límite de un semigrupo analítico$\{e^{-i\langle P,\xi\rangle/\hbar}| x \in \mathbb{C}^n \mbox{ and } Im(\xi) \leq 0\}$.

Muchas cantidades en la teoría de campos se expresan en términos de estas traslaciones y, con frecuencia, estas cantidades se pueden calcular más fácilmente al continuar analíticamente desde el tiempo real "Minkowski" hasta el tiempo imaginario "Euclidiano", donde la delicada cancelación de fases se convierte en la supresión cruda de exponencial. mojadura. Cuando usas el$+i\epsilon$-truco, lo que realmente estás haciendo es decir que la cancelación particular de fases que quieres es la que respeta esta analiticidad. Esto es precisamente lo que sucede cuando usas el$+i\epsilon$-truco para evaluar el propagador de Klein-Gordon. Tienes una integral que no converge absolutamente, y estás eligiendo cierta suma que sí lo hace. los$+i\epsilon$no es solo un truco aquí; es realmente la definición de la cantidad que buscas.

En lo que respecta a mi experiencia, el problema surge de escribir la solución correcta para todos los reales del problema:

$$(p-m)G(p)=1.$$ que dice: $$G(p)=\text{P.v.} \frac {1}{p-m}+c_0\delta(p-m)$$ dónde $\text{P.v.}$representa el valor principal. los $\delta(\epsilon-\omega)$la función aparece como si fuera el Kernel de $(\omega-\epsilon)$y $c_0$es alguna constante a ser fijada. Si ahora tomamos la transformada de Fourier obtenemos: $$\int e^{ipt }G(p)=\:\left( i\pi \text{sign}(t)+c_0\right)e^{i m t}$$ $c_0$ahora debe fijarse de acuerdo con las condiciones de contorno; para las funciones de Green retrasadas y avanzadas, se tiene $c_0=\pm i\pi$y la solución dada por el $i \epsilon$se recupera el truco. Sin embargo, en mi opinión, es un método bastante malo ya que solo funciona cuando tienes polos o primer orden, como el $\delta$La función se puede abordar mediante funciones cuadradas integrables. Si ahora está buscando la solución de: $$(p-m)^kG(p)=1.$$ con k un entero, ahora tienes $$G(p)=\text{P.v.} \frac {1}{(p-m)^k}+\sum_{j=0}^kc_j\delta^{(j)}(p-m)$$ con $\delta^{(k)}$la k-ésima derivada de la función delta. La transformada de Fourier dice $$G(t)=\left( i\pi \frac{(i t)^{k-1}}{k-1!}\text{sign}(t)+\sum_{j=0}^kc_j (-it)^j\right)e^{i m t}$$ Y de nuevo, el $c_j$s se fijan en función de las condiciones de contorno. Sin embargo, no conozco ninguna forma de recuperar esta solución con el $i\epsilon$truco.