Medida de integración invariante de Lorentz [cerrado]

Question

Medida de integración invariante de Lorentz [cerrado]

hombre de la lluvia

Cuando cuantificamos canónicamente el campo escalar en QFT, usamos una medida de integración invariante de Lorentz dada por

\tilde{d k} \equiv \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω (k)} .

$\widetilde{dk} \equiv \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega(\textbf{k})}.$

¿Cómo puedo demostrar que es invariante de Lorentz?

qmecanico

Hola Ome. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.

hombre de la lluvia

@Qmechanic: desconocía la política. He quitado la etiqueta porque no es un hw.

joshfísica

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/53534

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Esto sin duda es tarea. No se sienta degradado por el hecho de que su pregunta sea etiquetada como tal, realmente significa que su pregunta es solo sobre la resolución de problemas. Por cierto, puede mejorar su pregunta mostrando su esfuerzo y haciendo una pregunta conceptual. Su pregunta puede entonces ser reabierta. Si hace eso, solo envíeme un ping aquí, usando "@ DIMension10", y votaría para reabrir. No soy el votante negativo, por cierto.

Noix07

+1 para esta pregunta y marcando al moderador, por la siguiente razón: "Esta pregunta pertenece a las importantes preguntas y obstáculos conceptuales (así como también técnicos) que generalmente dificultan la comprensión de QFT. ¡Ciertamente es útil para un público amplio! "

Noix07

Permítanme aclarar ahora por qué esto es de gran importancia conceptual y sutileza: parece en un principio que uno integra en

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ los espacios vectoriales usuales. Esto tiene sentido, pero primero, no es un subespacio estable de

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ bajo impulsos y en segundo lugar la medida no sería invariante. (Sugiero que las personas que cerraron la pregunta escriban explícitamente la medida de la imagen). El punto crucial es que se integra en una subvariedad invariante de Lorentz (el conjunto de 4 vectores

k^{μ}

$k^{\mu}$ tal que

k^{μ} k_{μ} = m^{2}

$k^{\mu} k_{\mu}=m^2$ ). Así que ahora vemos que estamos tratando con la integración de...

Noix07

una función en una subvariedad de 3 dimensiones de

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ . La segunda dificultad es que la medida de Lebesgue sobre este último espacio induce una medida sobre la subvariedad. De aquí en adelante, no conozco los detalles matemáticos, pero hay varias visiones: la respuesta a continuación usa la distribución de Dirac y la fórmula

δ (f (x)) = \sum_{x_{i} \in f^{- 1} (0)} \frac{δ (x - x_{i})}{f^{'} (x_{i})}

$\delta(f(x))= \sum_{x_i \in f^{-1}(0)} \frac{\delta(x-x_i)}{f'(x_i)}$ que de por sí ya merece una explicación. La segunda visión es quedarse en el marco de medida, por ejemplo ???-Stietjes medidas.

Noix07

Para aquellos a quienes les gusta tener una visión general y un poco más abstracta, la pregunta muy natural es cómo encontrar una medida invariante en las órbitas (aquí el hiperboloide de capa de masa) bajo un grupo (aquí Lorentz), órbitas que son subvariedades de algunos colector que está equipado con una medida.

Noix07

(Falta el valor absoluto en mi fórmula con delta en el comentario anterior²)

Noix07

enlace _ Posible ref. sobre el aspecto matemático "Un curso sobre integración, Nicolas Lerner" (2014), §5.5 p.238.

Iván Burbano

La tarea 1.4.7 del libro de Robin Ticciati parece sugerir que esto se puede hacer directamente evaluando el determinante del jacobiano y factorizando

Λ

$\Lambda$ adecuadamente. ¿Alguien sabe cómo hacer esto?

Respuestas (1)

Medida de integración invariante de Lorentz [cerrado]

Hola Ome. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.
@Qmechanic: desconocía la política. He quitado la etiqueta porque no es un hw.
Esto sin duda es tarea. No se sienta degradado por el hecho de que su pregunta sea etiquetada como tal, realmente significa que su pregunta es solo sobre la resolución de problemas. Por cierto, puede mejorar su pregunta mostrando su esfuerzo y haciendo una pregunta conceptual. Su pregunta puede entonces ser reabierta. Si hace eso, solo envíeme un ping aquí, usando "@ DIMension10", y votaría para reabrir. No soy el votante negativo, por cierto.
+1 para esta pregunta y marcando al moderador, por la siguiente razón: "Esta pregunta pertenece a las importantes preguntas y obstáculos conceptuales (así como también técnicos) que generalmente dificultan la comprensión de QFT. ¡Ciertamente es útil para un público amplio! "
Permítanme aclarar ahora por qué esto es de gran importancia conceptual y sutileza: parece en un principio que uno integra en $\mathbb{R}^3$ los espacios vectoriales usuales. Esto tiene sentido, pero primero, no es un subespacio estable de $\mathbb{R}^4$ bajo impulsos y en segundo lugar la medida no sería invariante. (Sugiero que las personas que cerraron la pregunta escriban explícitamente la medida de la imagen). El punto crucial es que se integra en una subvariedad invariante de Lorentz (el conjunto de 4 vectores $k^{\mu}$ tal que $k^{\mu} k_{\mu}=m^2$ ). Así que ahora vemos que estamos tratando con la integración de...
una función en una subvariedad de 3 dimensiones de $\mathbb{R}^4$ . La segunda dificultad es que la medida de Lebesgue sobre este último espacio induce una medida sobre la subvariedad. De aquí en adelante, no conozco los detalles matemáticos, pero hay varias visiones: la respuesta a continuación usa la distribución de Dirac y la fórmula $\delta(f(x))= \sum_{x_i \in f^{-1}(0)} \frac{\delta(x-x_i)}{f'(x_i)}$ que de por sí ya merece una explicación. La segunda visión es quedarse en el marco de medida, por ejemplo ???-Stietjes medidas.
Para aquellos a quienes les gusta tener una visión general y un poco más abstracta, la pregunta muy natural es cómo encontrar una medida invariante en las órbitas (aquí el hiperboloide de capa de masa) bajo un grupo (aquí Lorentz), órbitas que son subvariedades de algunos colector que está equipado con una medida.
(Falta el valor absoluto en mi fórmula con delta en el comentario anterior²)
enlace _ Posible ref. sobre el aspecto matemático "Un curso sobre integración, Nicolas Lerner" (2014), §5.5 p.238.
La tarea 1.4.7 del libro de Robin Ticciati parece sugerir que esto se puede hacer directamente evaluando el determinante del jacobiano y factorizando $\Lambda$ adecuadamente. ¿Alguien sabe cómo hacer esto?

usuario23660 · Answer 1

Para mostrar que esta medida es invariante de Lorentz, primero debe escribir explícitamente su integral como una integral sobre la capa de masa en el espacio k 4D. Esto podría hacerse insertando la función delta de Dirac $\delta[k^\mu k_\mu-m^2]$ e integrándose en todo el espacio 4D.

Entonces podrías aplicar las siguientes transformaciones:

\begin{aligned} θ (k_{0}) \cdot d [k^{m} k_{m} - {metro}^{2}] & = θ (k_{0}) \cdot d [k_{0}^{2} - | k |^{2} - {metro}^{2}] \\ = θ (k_{0}) \cdot d [(k_{0} - \sqrt{| k |^{2} + {metro}^{2}}) (k_{0} + \sqrt{| k |^{2} + {metro}^{2}})] \\ = \frac{d [k_{0} - \sqrt{| k |^{2} + {metro}^{2}}]}{2 k_{0}}, \end{aligned}

$\begin{align} \theta(k_0)\cdot\delta[k^\mu k_\mu-m^2] &= \theta(k_0)\cdot\delta[k_0^2-|\mathbf{k}|^2-m^2]\\ &=\theta(k_0)\cdot\delta\left[(k_0-\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m^2})(k_0+\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m^2})\right]\\ &=\frac{\delta\left[k_0-\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m^2}\right]}{2\,k_0}, \end{align}$ donde función de Heaviside

θ (k_{0})

$\theta(k_0)$ se utiliza para seleccionar solo la parte futura de la capa de masa.

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usuario23660

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