¿Cuándo establecer una cantidad constante en un Lagrangiano (de ecuación geodésica)?

He estado luchando con este problema durante bastante tiempo y parece que no puedo entender lo que puedo hacer o no.

Consideremos la siguiente acción:

$$S = \int \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|}}|ds|$$

Ahora, quiero mostrar que esto da la famosa ecuación geodésica si elegimos$|ds| = d\tau$, el momento adecuado. Sé cómo va la prueba con la variación de S, pero quería probarla con la expresión de Euler-Lagrange, y así llego a la raíz de mi problema.

Sé que si elegimos el parámetro como se dijo antes, debemos tener eso

$$g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|} = -1.$$ Obviamente, no podemos reemplazar eso directamente en la ecuación inicial para S, de lo contrario tendremos un lagrangiano constante. Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente: ¿cuándo puedo establecer efectivamente $g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|}$ser $-1$, sin llegar a un resultado incorrecto ? De hecho, déjame escribir los pasos para la ecuación de Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial}{\partial U^{\alpha}}(\sqrt{-g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}}) \right) = \frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{-g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}})$$

$$\frac{d}{d\tau}\left(\frac{g_{\alpha \nu}U^{\nu}}{\sqrt{M}} \right) = \frac{\partial_{\alpha}g_{\mu\nu}}{2\sqrt{M}}U^{\mu}U^{\nu}$$

Con

$$U^{\nu} = \frac{dx^{\nu}}{|ds|}$$ y $$M = -g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}.$$

Ahora, en la ecuación anterior, si configuro$M = 1$, entonces encuentro la ecuación geodésica. Permítanme reformular la pregunta: ¿por qué puedo configurar$M = 1$¿ahora? si hubiera puesto$M = 1$antes de hacer cualquiera de los$\frac{\partial}{\partial U^\nu}$o$\frac{\partial}{\partial x^\nu}$derivadas, habría obtenido un resultado incorrecto. ¿Por qué puedo establecer$M=1$dentro de$\frac{d}{|ds}$derivado, pero no dentro de los otros? Espero haberme dejado claro!