Análogo mecánico cuántico del momento conjugado

Breve explicacion:

1. Al pasar de la mecánica lagrangiana clásica (por ejemplo, la mecánica puntual no relativista) a la mecánica cuántica, hay un paso intermedio conocido como mecánica hamiltoniana clásica .

2. Para llegar al paso intermedio, uno tiene que realizar una transformación de Legendre $(q,\dot{q}) \longrightarrow (q, p)$, dónde$(q, p)$son variables de espacio de fase canónicas (generalizadas) .

3. Tenga en cuenta en particular, que mientras que el impulso generalizado se define como$p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}$en la mecánica lagrangiana, el momento generalizado es una variable libre en la mecánica hamiltoniana (siempre que la transformación de Legendre no sea singular).

4. En el formalismo hamiltoniano clásico la$q^i$y$p_j$satisfacer las relaciones canónicas entre paréntesis de Poisson$\{q^i,p_j\}=\delta^i_j.$

5. En el proceso de cuantización, las relaciones de paréntesis de Poisson son reemplazadas por relaciones de conmutación canónicas. $[\hat{q}^i,\hat{p}_j]=i\hbar {\bf 1}\delta^i_j$. (Esta parte de lo que se conoce como el principio de correspondencia entre la mecánica clásica y la cuántica).

6. En la representación del puesto$\hat{q}^i=q^i$y$\hat{p}_j= \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q^j}$. (Esta representación se conoce como la representación de Schrödinger. Consulte también el Teorema de Stone-von Neumann ).