¿Hay alguna razón plausible para la existencia de variables conjugadas en la mecánica cuántica?

(Actualicé la pregunta, el nuevo último pasaje es el importante)

Si asumo que la posición de una partícula será representada por un operador X ^ , y la evolución temporal que debe realizar la transformación unitaria generada por un operador H ^ (llamado el "Hamiltoniano", entonces no tengo ninguna noción de que tiene que haber algo así como un "operador de impulso".

Ahora estoy tratando de llegar a un argumento de plausibilidad de que debe haber otro, igual que el operador fundamental, que llamamos cantidad de movimiento, y que contribuirá a cualquier observable que podamos definir como función de los operadores, especialmente H ^ , en el mismo sentido que en la mecánica clásica, vemos naturalmente que el estado de un sistema no está descrito por un elemento del espacio de configuración q , sino por un elemento del espacio de fase ( q , pag ) .

La explicación que se me ocurrió es la siguiente, y quiero saber si es un buen argumento de plausibilidad o uno malo: El hamiltoniano H ^ tiene que ser un operador abitrario actuando sobre el espacio de Hilbert que consta de todos los estados propios no degenerados del operador de posición. Mi idea es que este operador más general H ^ sólo puede ser representado por un polinomio que contiene X ^ Y PAG ^ con [ X ^ , PAG ^ ] = i ℏ .

Si observo la representación de la posición del espacio de Hilbert, entonces el espacio de Hilbert se convierte en el espacio de todas las funciones integrables al cuadrado sobre el dominio de los números reales, y el mapa lineal más general que actúa sobre esas funciones. F ( X ) sería una combinación de derivaciones d d X (que sería el operador de cantidad de movimiento) y multiplicaciones con X (ese sería el operador de posición).

¿Se mantiene este razonamiento en general? Si la conmutación canónica [ X ^ , PAG ^ ] = i ℏ relación se cumple, ¿eso significa que puedo representar cualquier operador hermitiano por un polinomio de X ^ y PAG ^ ?

Si no, ¿hay alguna otra razón por la que tiene que haber un momento similar observable llamado momento con las propiedades que estamos acostumbrados a tener, y eso contribuye al generador de traducciones de tiempo? H ^ en el sentido de que H ^ = h ( X ^ , PAG ^ ) ? Soy consciente de que necesitamos impulso para reproducir el límite clásico de la teoría, pero ese no es el camino de razonamiento que quiero seguir. Quiero argumentar desde "el otro lado".

** ** Creo que puedo reformular la pregunta de la siguiente manera, eso deja más claro lo que quiero preguntar: ¿ Por qué necesitamos una variable conjugada para cada observable que miramos? En mecánica clásica nos quedamos originalmente con una coordenada generalizada q . Más adelante, añadimos un impulso canónico pag , porque entonces el movimiento se puede describir en el espacio de fase, que es una variedad simpléctica, de una manera muy elegante, siendo cada posible observable una función en dicho espacio de fase.

En la mecánica cuántica no veo un razonamiento similar. Tenemos los postulados de un espacio de hilbert, de operadores y de desarrollo de tiempo unitario, pero el impulso como operador y la relación de conmutación canónica se introducen para imitar la mecánica clásica. No se da ningún argumento sobre la estructura del espacio de observables, como es el caso de la mecánica clásica. ¿Existe un razonamiento para la plausibilidad de una variable conjugada en la mecánica cuántica, que sea similar al razonamiento (variedad simpléctica, tratamiento elegante de la dinámica) en la mecánica clásica?

Lo que sí es cierto es que todo operador autoadjunto, también ilimitado, definido en un dominio denso en L 2 ( R 3 ) es el límite fuerte de polinomios de las medidas espectrales de los tres operadores de posición y de momento. Algunos de estos operadores son de hecho (los cierres de) polinomios de estos operadores directamente.
Sin embargo, la existencia del operador momento surge de otra manera. Por razones físicas evidentes, se supone que una partícula no relativista soporta una representación (unitaria fuertemente continua) del (extensión central de) el grupo de Galileo actuando sobre el espacio de estados. En particular, el subgrupo de traducciones espaciales actúa sobre los estados a través de operadores unitarios. Este tipo de representaciones son generadas por (son el exponencial de) observables en vista de teoremas generales. Las traslaciones espaciales son generadas por los operadores de momento por definición.
@ValterMoretti para quizás reformular mi pregunta, veo que no me he expresado bien: la pregunta no es por qué debería haber un operador de impulso, sino por qué debería aparecer en el hamiltoniano y, por lo tanto, la evolución temporal de X ^ automáticamente siempre se emparejará con la evolución temporal de PAG ^ .
No estoy seguro de entender bien su pregunta y creo que el título de su pregunta es engañoso. Sin embargo, una vez que hemos introducido el operador de cantidad de movimiento como escribí, de la teoría de las representaciones de grupos de Galileo, resulta que H − PAG 2 / 2 metro es una función de X solo. Dónde H (en realidad la declaración necesitaría más detalles) es el generador de desplazamientos de tiempo. Es natural clasificar los sistemas cuánticos por medio de esa diferencia....
@Quantumwhisp: debe editar su pregunta para reflejar la pregunta real tal como la reformuló en su comentario. De lo contrario, es posible que alguien que dé una respuesta no aborde la pregunta que realmente debe hacer.
@flippiefanus Lo sé, simplemente no tuve tiempo hasta ahora. Edité la pregunta.
La respuesta a su pregunta es "básicamente sí", con varias advertencias que atraen a los expertos, pero que no parecen ayudarlo. Dado X ^ necesita una variable conjugada, y las dos son suficientes para construir otros operadores (multiplexados por tales en dimensiones más altas). Pero esto también es cierto para la dinámica hamiltoniana clásica, de la cual me temo que su pregunta debería haber comenzado. De hecho, al trascender ajustes tan estrechos, por ejemplo, como en la dinámica de Nambu, puede convencerse de que debe trabajar con pares de variables conjugadas , las vea o no .
@CosmasZachos No entiendo las advertencias que mencionas. ¿La mecánica cuántica necesita una variable conjugada que solo así pueda construir otros operadores? Si esto es cierto, no es un problema para mí que también necesite variables conjugadas en mecánica clásica.
QM, en general, es la relación de conmutación de Heisenberg: no sería QM sin ella. Entonces, dada una variable conjugada, sus operadores también la incluirán (más, posiblemente, otros, como operadores de giro, etc.). Del mismo modo, la formulación PB (simplectica) de la mecánica hamiltoniana no funcionaría sin un espacio de fase de dimensión uniforme. (Lo mismo es cierto para entornos más recónditos como NB, pero no entremos allí).
"QM, en general, es la relación de conmutación de Heisenberg". Sí, y estoy buscando un argumento de plausibilidad de por qué es así, como el que sugerí. Conozco el razonamiento de la mecánica clásica (el impulso establece un espacio de fase y una estructura simpléctica en el espacio de fase y así sucesivamente), pero también me gustaría conocer un argumento de plausibilidad para QM.

Respuestas (1)

Puede que esto no sea lo que está buscando, pero así es como procedería:

Como dijiste, la evolución del tiempo es llevada por un operador unitario. tu ^ ( Δ t ) cuyo generador es el hamiltoniano H ^ , es decir tu ^ ( Δ t ) = mi − i H ^ Δ t / ℏ , y tu ^ ( Δ t ) | ψ ( t ) ⟩ = | ψ ( t + Δ t ) ⟩ . El hamiltoniano se define así como el operador cuya acción sobre la representación | ψ ⟩ de una partícula es una traducción de tiempo infinitesimal H ^ | ψ ⟩ = i ℏ d d t | ψ ⟩ .

De manera similar a la evolución del tiempo, puedo definir un operador unitario tu ^ ( Δ X ) cuya acción es desplazar una partícula la distancia Δ X en el X -dirección. impulso en el X -direction se define así como el generador de este operador unitario, y debe ser hermitiano: tu ^ ( Δ X ) = mi i pag ^ Δ X / ℏ . Dado que \hat{p} es hermitiano, tiene una base propia pag ^ | pag ⟩ = pag | pag ⟩ , pag ∈ R . A partir del principio de superposición, puedo crear otro estado a partir de los estados propios del impulso como: | Δ X ⟩ := ∫ d pag 2 π ℏ tu ^ ( Δ X ) | pag ⟩ = ∫ d pag 2 π ℏ mi i pag Δ X | pag ⟩ . Esto me permite construir un operador de posición como X ^ := ∫ d Δ X Δ X | Δ X ⟩ ⟨ Δ X | .

Por estas definiciones recuperamos las relaciones de conmutación [ X ^ , pag ^ ] = i ℏ 1 . Por lo tanto, cualquier teoría cuántica con representaciones unitarias de traslaciones espaciales tendrá operadores de posición y momento conjugados canónicamente.

Esta definición de cantidad de movimiento como el operador del desplazamiento espacial infinitesimal me parece la más natural, tanto en la física cuántica como en la clásica: en el formalismo lagrangiano, la cantidad de movimiento pag = ∂ L ∂ X ˙ es la carga conservada asociada con la simetría X → X + Δ X de la acción En el formalismo hamiltoniano, el momento define un operador cuya acción en una función de espacio de fase F ( X , pag ) viene dada por el corchete de Poisson { F , pag } = ∂ F ∂ X , ese es el efecto sobre F de desplazamiento infinitesimal en X .

Esto me lleva a su segunda pregunta: "¿ Por qué necesitamos una variable conjugada para cada observable que observamos? " En general, las variables conjugadas están relacionadas de la misma manera que el tiempo y la energía: una variable define una transformación del sistema ( a menudo una simetría), y el otro define el generador de esa transformación (y la carga conservada en el caso de una simetría). En este sentido: la energía genera la traducción del tiempo, el impulso genera la traducción del espacio, el operador numérico (u operador de carga en QFT relativista) genera la rotación de fase Ψ ^ → mi i α Ψ ^ ( Ψ ^ aquí denota un operador de campo cuántico en segunda cuantización o QFT relativista), y así sucesivamente ∗ . Además, algunas de las variables conjugadas que definen una transformación no tienen operadores observables/hermitianos correspondientes. ∗ ∗ , como el tiempo y la fase, por lo que no siempre es útil considerar las variables conjugadas como observables que conmutan canónicamente.

Para resumir: para variables conjugadas, la contraparte del impulso genera un cambio infinitesimal en su "coordenada" conjugada. La unitaridad de QM implica que cambios finitos en la variable "coordenada" deben ser representados por operadores unitarios, cuyo generador hermitiano es la variable "momentum". Esto define los estados propios variables de "momento", y la acción de los cambios de "coordenadas" unitarias en este último conduce a las relaciones de incertidumbre. En particular, si la "coordenada" tiene un observable y una base propia correspondientes, los dos observables están relacionados por relaciones de conmutación canónicas.

∗ Dado que la fase es multivaluada ( ϕ ≡ ϕ + 2 π norte ), es difícil proporcionar una relación de incertidumbre carga-fase o número de partículas-fase general y rigurosa que vaya más allá de la ingenua desigualdad Δ norte Δ ϕ ≥ 1 / 2 . Sin embargo, este concepto se usa ampliamente en el estudio de estados coherentes de sistemas de muchos cuerpos (condensados), que son lo más parecido a los "estados propios de fase", como se analiza aquí en el contexto de la óptica cuántica.

∗ ∗ Este hilo analiza la posibilidad de un operador de tiempo, y este artículo de revisión cubre los intentos de definir un operador de fase.

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