Derivación de la relación canónica del conmutador posición-cantidad de movimiento

Implícito en la suposición de las bases de "posición" y "momento" debe ser el valor propio eqs. para los observables correspondientes,$\hat x\; |x\rangle = x |x\rangle$y$\hat p\; |p\rangle = p |p\rangle$, aunque la expresión de$\hat p$en la base de la posición no es necesario. Con esto entendido, considere el elemento de matriz

$$\langle x |(\hat x \hat p - \hat p \hat x | x' \rangle = (x-x')\langle x |\hat p | x' \rangle =\\ = (x-x')\int{dp_1 \int{dp_2 \langle x |p_1\rangle \langle p_1|\hat p |p_2\rangle \langle p_2 | x'\rangle }}= \\ = (x-x')\int{dp_1 \int{dp_2 e^{ip_1x}\delta(p_1-p_2)p_2e^{-ip_2x'}}} = \\ = (x-x')\int{dp_1 \;p_1 e^{i(x-x')p_1}} = -i(x-x')\frac{\partial}{\partial x}\int{dp_1 \; e^{i(x-x')p_1}}=\\ = -i(x-x')\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-x') = i\delta(x-x') = i\langle x|x'\rangle$$ donde se hizo uso de la identidad $(x-a)\delta'(x-a) = -\delta(x-a)$. Desde $|x\rangle$, $|x'\rangle$son arbitrarios, $$[\hat x, \hat p] = i$$ sigue necesariamente.

El único ingrediente que se necesita para probar las relaciones de conmutación es la acción de cualquiera de los dos operadores sobre la otra base; es decir, se debe suponer que$\langle x|\hat{p}| \psi\rangle = i \partial_x \psi(x)$, es decir, el operador momento actúa como derivado sobre la posición (o viceversa). A partir de ahí, las relaciones de conmutación se siguen automáticamente a través del teorema de Stone o, reformulado de manera equivalente, la derivada es el único operador cuyo conmutador con la posición es la identidad.

3) sigue automáticamente y 1) y 2) son innecesarios.