¿Cómo construir la componente radial del operador de cantidad de movimiento?

Tendrías que usar el hecho de que el operador de cantidad de movimiento en el espacio de posición es$\vec{p} = -i\hbar\vec{\nabla}$y usa la definición del operador gradiente en coordenadas esféricas:

$$\vec{\nabla} = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$$

Entonces la componente radial del momento es

$$p_r = -i\hbar\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}$$

Sin embargo: después de un poco de investigación motivada por los comentarios, descubrí que en la práctica esto no se usa mucho. Es más útil tener un operador$p_r'$que satisface

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 R(r) = \frac{p_r'^2}{2m} R(r)$$

Esto le permite escribir el componente radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como

$$\biggl(\frac{p_r'^2}{2m} + V(r)\biggr)R(r) = E R(r)$$

La acción de la componente radial del Laplaciano en 3D es

$$\nabla^2 R(r) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2\frac{\partial R(r)}{\partial r}\biggr)$$

y si resuelves por el operador$p'_r$que satisface la definición anterior, terminas con

$$p'_r = -i\hbar\biggl(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\biggr)$$

Esto se llama el "operador de momento radial". Estrictamente hablando, es diferente de la "componente radial del operador de cantidad de movimiento", que es, por definición,$p_r$como lo escribí anteriormente, aunque no me sorprendería encontrar personas que confunden la terminología con relativa frecuencia.

Pude resolverlo, así que aquí va la aclaración para el registro.

Clásicamente

$$p_r=\hat{D}_r = \frac{\hat{r}}{r} \cdot\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r}$$

Sin embargo$\hat{D}_r$no es hermitiano. Considere el adjunto

$$\hat{D}_r^\dagger= \hat{p}\cdot\frac{\hat{r}}{r} =\frac{\hbar}{i} \left ( \frac{\partial}{\partial r}+\frac{2}{r} \right )$$

Ahora sabemos por álgebra lineal cómo construir un operador hermitiano a partir de un operador y su adjunto:

$$\hat{p}_r = \frac{\hat{D}_r^\dagger+\hat{D}_r}{2}=\frac{\hbar}{i} \left ( \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r} \right )$$

Y por cierto, para aquellos que siguieron mi pregunta inicial, no cometan el siguiente error de cálculo que cometí:

$$\hat{p}_r = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r}(\vec{r}\cdot\vec{p})+(\vec{p}\cdot\vec{r})\frac{1}{r}\right)\neq \frac{1}{2}\frac{1}{r}(\vec{r}\cdot\vec{p}+\vec{p}\cdot\vec{r})$$

Incluso en una dimensión el operador$p_r=-i\partial_r$en la línea media$r>0$tiene índices de deficiencia$(0,1)$. Por lo tanto, no hay forma de definirlo como un operador autoadjunto. En términos prácticos, esta declaración matemática abstracta significa que no hay un conjunto de condiciones de contorno que podamos imponer a la función de onda.$\psi(r)$que conducen a un conjunto completo de funciones propias para$p_r$. Por ejemplo, la integración por partes para probar la hermiticidad formal requiere que$\psi(0)=0$pero todas las funciones propias potenciales son de la forma$\psi_k(r)=\exp\{ikr\}$por algo real o complejo$k$, y sin valor de$k$poder hacer$\psi_k(0)$ser cero

Dado que se necesitan funciones propias y valores propios para asignar una probabilidad al resultado de una medición de$p_r$esto significa que$p_r$no es un ``observable''.

De hecho, 1D no es bueno para el operador radial (y si uno lo usa, entonces corresponde a la mitad de la línea con la condición límite de reflexión en x = 0, y luego el término límite desaparece allí, por lo que nuevamente h/i*d/dr es hermético). Pero en dimensiones superiores, por ejemplo, 3, hay que pensar en el producto interior con$r^2$función de peso, por lo que cancela el término límite. Por supuesto esto da otro término al hacer integración por partes, y por eso$d/dr$solo si no es suficiente para la hermiticidad.

Por supuesto, esto también corresponde al hecho de que la "onda plana" en coordenadas radiales tiene alguna función de$r$en el denominador, debido a la conservación de la energía, por ejemplo$e^{ikr}/r$en 3D

Vea también este bonito artículo, que describe el fracaso de este enfoque en 2D.