¿Por qué no usamos el método de Hamilton-Jacobi en QM?

I) Bueno, semiclásicamente, la famosa ecuación de Hamilton-Jacobi aparece en el orden más bajo en$\hbar$en una expansión WKB de la ecuación de Schrödinger . Véase también Ref. 1.

II) El concepto cuántico de una transformación canónica (CT)

$$z^I~=~(\hat{q}^i; \hat{p}_i) \quad\longrightarrow\quad Z^J~=~(\hat{Q}^j; \hat{P}_j) \tag{1}$$

(donde las variables canónicas antiguas y nuevas satisfacen el CCR ) generalmente se vuelve muy difícil de implementar en todos los órdenes cuánticos a menos que estemos hablando de una transformación afín

$$z^I \quad\longrightarrow\quad Z^J ~=~ A^J{}_I z^I +b^J. \tag{2}$$

Por lo tanto, la gran flexibilidad de la TC clásica es reemplazada (al menos desde un punto de vista computacional práctico, aunque no desde un punto de vista teórico) por rigidez en el nivel cuántico completo.

III) En la práctica, al cuantificar una teoría, primero se buscaría la formulación clásica más simple del problema (que produce las mismas ecuaciones clásicas de movimientos y que es más susceptible de cuantificación), y luego se intenta cuantificar eso.

Por ejemplo, si el Lagrangiano clásico contiene una raíz cuadrada general, normalmente se intentaría encontrar un Lagrangiano clásico equivalente que sea cuadrático en las variables fundamentales antes de intentar cuantificar el sistema.

Referencias:

1. BS DeWitt, El enfoque global de QFT, Vol. 1, 2003; ec. (13.12).