¿Cuál es la expresión más general para la representación coordinada del operador de cantidad de movimiento?

Question

¿Cuál es la expresión más general para la representación coordinada del operador de cantidad de movimiento?

Física
impulso
operadores
conmutador
mecánica cuántica
distribuciones-dirac-delta

usuario26143

Tengo una pregunta sobre cómo derivar la representación coordinada del operador de impulso de la relación de conmutación canónica,

[X, pag] = i .

$[x,p]= i.$

Una derivación (ref W. Greiner's Quantum Mechanics: An Introduction, 4th edi, p442) es la siguiente:

⟨ X | [X, pag] | y ⟩ = ⟨ X | X pag - pag X | y ⟩ = (X - y) ⟨ X | pag | y ⟩ .

⟨ x | [x, p] | y ⟩ = i ⟨ x | y ⟩ = i δ (x - y)

$\langle x|[x,p]|y \rangle = i \langle x|y \rangle = i \delta (x-y)$ . De este modo

\begin{matrix} (1) & (X - y) ⟨ X | pag | y ⟩ = i d (X - y) . \end{matrix}

$(x-y) \langle x|p|y \rangle = i \delta(x-y). \tag{1}$

Usamos $(x-y) \delta(x-y) = 0$ . Derivar con respecto a $x$ ; tenemos $\delta(x-y) + (x-y) \delta'(x-y) = 0$ . De este modo

\begin{matrix} (2) & (X - y) d^{'} (X - y) = - d (X - y) . \end{matrix}

$(x-y) \delta'(x-y) = - \delta(x-y). \tag{2}$

Comparando Ecs. (1) y (2), identificamos

\begin{matrix} (3) & ⟨ X | pag | y ⟩ = - i d^{'} (X - y) . \end{matrix}

$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y). \tag{3}$

Además, podemos agregar $\alpha \delta(x-y)$ en el lado derecho de la Ec. (3), es decir

⟨ X | pag | y ⟩ = - i d^{'} (X - y) + α d (X - y),

$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y) + \alpha \delta(x-y),$ y

[x, p] = i

$[x,p] = i$ todavía está satisfecho. También podemos agregar

\frac{β}{\sqrt{| X - y |}} d (X - y)

$\frac{\beta}{\sqrt{|x-y|}}\delta(x-y)$ en el lado derecho de la ecuación. (3). Aquí

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ son dos numeros reales

Mi pregunta es, ¿cuál es la expresión más general de $\langle x|p|y \rangle$ ? ¿Podemos siempre absorber el término adicional en un factor de fase como lo hizo el libro de mecánica cuántica de Dirac?

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/53252/2451 y enlaces allí.

usuario26143

Gracias por el enlace! Desde el enlace de arriba, parece

\frac{β}{\sqrt{| x - y |}} δ (x - y)

$\frac{ \beta}{ \sqrt{|x-y|}} \delta(x-y)$ está mal definido en el origen. Sin embargo, incluso si excluimos esta posibilidad, ¿cómo encontrar la expresión más general de la expresión coordinada del operador de momento? Tal vez es solo falta de imaginación que hay algo más que

α δ (x - y)

$\alpha \delta(x-y)$ .

α (x - y)^{n} δ (x - y)

$\alpha (x-y)^n \delta(x-y)$ ,

n > 0

$n>0$ no cuenta, ya que

α (x - y)^{n} δ (x - y) = 0

$\alpha (x-y)^n \delta(x-y)=0$ .

Respuestas (2)

¿Cuál es la expresión más general para la representación coordinada del operador de cantidad de movimiento?

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/53252/2451 y enlaces allí.
Gracias por el enlace! Desde el enlace de arriba, parece $\frac{ \beta}{ \sqrt{|x-y|}} \delta(x-y)$ está mal definido en el origen. Sin embargo, incluso si excluimos esta posibilidad, ¿cómo encontrar la expresión más general de la expresión coordinada del operador de momento? Tal vez es solo falta de imaginación que hay algo más que $\alpha \delta(x-y)$ . $\alpha (x-y)^n \delta(x-y)$ , $n>0$ no cuenta, ya que $\alpha (x-y)^n \delta(x-y)=0$ .

qmecanico · Answer 1

Comenzamos mencionando un par de fórmulas estándar

\begin{matrix} (1) & ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩, \end{matrix}

$\psi(x)~=~\langle x | \psi \rangle, \tag{1}$

y

\begin{matrix} (2) & ⟨ X | y ⟩ = d (X - y) . \end{matrix}

$\langle x | y \rangle ~=~\delta(x-y).\tag{2}$

La relación de conmutación canónica (CCR) es

\begin{matrix} (3) & [\hat{X}, \hat{pag}] = i ℏ 1 . \end{matrix}

$[\hat{x}, \hat{p}] ~=~i\hbar{\bf 1}.\tag{3}$

La representación estándar de la posición de Schrödinger dice

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \hat{X} = & X, \\ \hat{pag} = & - i ℏ \frac{\partial}{\partial X} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \hat{x}~=~&x, \cr \hat{p}~=~&-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.\end{align}\tag{4}$

Podemos conjugar la representación estándar de la posición de Schrödinger (4) por un operador unitario $\hat{U}=e^{-if(\hat{x})}$ , dónde $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función diferenciable dada. De esta manera obtenemos una representación de posición equivalente unitaria

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \hat{X} = & X, \\ \hat{pag} = & - i ℏ {mi}^{- i F (X)} \frac{\partial}{\partial X} {mi}^{i F (X)} \\ = & - i ℏ \frac{\partial}{\partial X} + ℏ F^{'} (X), \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\hat{x}~=~&x, \cr \hat{p} ~=~&-i\hbar e^{-if(x)}\frac{\partial}{\partial x}e^{if(x)}\cr ~=~&-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+ \hbar f^{\prime}(x),\end{align}\tag{5}$

de la RCC (3). La representación estándar de la posición de Schrödinger (4) corresponde a $f\equiv {\rm const}$ . Para una representación irreducible general del CCR (3), consulte el teorema de Stone-von Neumann .

La representación (5) implica

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} ⟨ X | \hat{pag} | ψ ⟩ = & (\hat{pag} ψ) (X) \\ = & - i ℏ {mi}^{- i F (X)} ({mi}^{i F} ψ)^{'} (X) \\ = & - i ℏ ψ^{'} (X) + ℏ F^{'} (X) ψ (X) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \langle x | \hat{p} |\psi \rangle~=~&(\hat {p} \psi)(x)\cr ~=~&-i\hbar e^{-if(x)}(e^{if}\psi)^{\prime}(x)\cr ~=~&-i\hbar\psi^{\prime}(x)+ \hbar f^{\prime}(x)\psi(x). \end{align}\tag{6}$

De (6) concluimos que los elementos de la matriz de momento son

\begin{matrix} (7) & ⟨ X | \hat{pag} | y ⟩ = - i ℏ d^{'} (X - y) + ℏ F^{'} (X) d (X - y) \end{matrix}

$\langle x | \hat{p} |y \rangle~=~-i\hbar\delta^{\prime}(x-y)+ \hbar f^{\prime}(x)\delta(x-y)\tag{7}$

en la representación (5).

Finalmente, aquí y aquí hay otras dos publicaciones de Phys.SE que también discuten ambigüedades en $x\leftrightarrow p$ superposiciones

Trimok · Answer 2

en unidades $\hbar=1$ , de $\langle p|p' \rangle = \delta(p-p')$ y $\langle x|p \rangle = \frac {1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i px}$ , usted obtiene :

$\langle x|\hat p|y \rangle = \int_{|p>,|p'>} \langle x|p\rangle \langle p|\hat p|p'\rangle \langle p'|y\rangle = \frac {1}{2 \pi} \int_{|p>,|p'>} e^{ipx} p' \langle p|p' \rangle e^{-ip'y}$ $= \frac {1}{2 \pi} \int dp~ p ~e^{ip(x-y)} = - i\partial_x \frac {1}{2 \pi}\int dp~ e^{ip (x - y)} = -i\delta'(x-y)$

$\langle x | p \rangle = \frac{1}{2\pi} e ^{ipx}$ viene de $\hat{p}= - i\frac{ \partial}{\partial x}$

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