Plausibilidad de las Relaciones de Weyl de posición y Momentum - Significado físico del grupo de Heisenberg

No estoy seguro de qué califica como intuición satisfactoria o no, para QM.... Weyl en su artículo de 1927 apreció que el álgebra de Lie de Heisenberg debería exponenciar a un grupo, el de las traslaciones y ubicaciones de un reloj con n horas, el arquetipo de juguete de espacio de Hilbert y tomó el límite de horas infinitas con una escala adecuada; la escala "incorrecta" sería neta$SU(\infty)$, por lo tanto, corchetes de Poisson y mecánica clásica, no el espacio de QM Hilbert cuyos movimientos se estudian aquí.

No puedo evitar la trampa del "así es", pero déjame tratar de arreglar los hechos, con la esperanza de que sus reflejos entre sí se agudicen.

Como cabecilla de la carga Gruppenpest de los años 20, Weyl investigó el grupo resultante de la exponenciación del álgebra de Lie,

$$[\hat x, \hat p]=i\hbar ,$$ entonces con elementos genéricos de grupos unitarios $$e^{it\hat x + is\hat p+i\hbar u} = e^{i(u+st\hbar/2) } e^{it\hat x} e^ {is\hat p } ,$$ con las suficientes relaciones de trenzado del mismo nombre (identidades de multiplicación de elementos de grupo, (26) en Weyl op.cit.) que le interesen, $$e^{it\hat x} e^ {is\hat p } = e^{-its\hbar} e^ {is\hat p } e^{it\hat x} .$$ (Suficiente en el sentido de que al diferenciarlos wrt s y t y al establecer estos parámetros y u igual a 0, la excursión fuera del origen, recupera la relación de conmutación del álgebra de Lie). Estas identidades, consecuencias directas de las reglas de composición CBH del álgebra de Heisenberg, comprende todo lo que necesita saber para evaluar acciones grupales en vectores QM. Los dos elementos del grupo elegidos son suficientes para especificar la totalidad del comportamiento del espacio de fase de la mecánica cuántica.

Actúan unitariamente sobre funciones, por ejemplo, de x , como

$$e^ {is\hat p } \psi(x)= \psi(x+\hbar s) ,$$ el operador de cambio de Lagrange , (51) en Weyl. Por ejemplo, la carga de Noether conservada en una teoría traslacionalmente simétrica produciría ese generador de simetría de momento.

Una acción menos familiar es la de cambiar la fase de la lectura del reloj, (50) en Weyl,

$$e^ {it\hat x } \psi(x)= e^{itx} \psi(x),$$ y, por supuesto, el constante cambio de fase de iu a través del elemento central.

En este nivel, realmente no tengo mucha intuición para esto último, más allá del "¡he aquí!" original de Weyl. analogía en su sección 8, a la matriz de reloj finito $\Sigma_3$de Sylvester (1882), una matriz diagonal con una fase constante en cada entrada que aumenta su fase ordinalmente. Podrías pensar en un reloj con fases horarias exponenciadas. El operador de traducción es, por supuesto,$\Sigma_1$, la matriz de desplazamiento en una hora. En un cuidadoso límite de horas infinitas, uno recupera sus operadores, y los logaritmos de estos operadores (sí, hay un método ingenioso para tomarlos), recupera el álgebra de Heisenberg, mediante un célebre argumento de Santhanam & Tekumalla 1976 ; magia pura: ¡el rhside sin rastro se convierte en la identidad de clase sin rastro! Pero esa es una pregunta fascinante completamente diferente.

Creo que Weyl siempre apreció esta intuición (la exaltó en su libro mencionado anteriormente), y realmente me ha ayudado en varios dilemas lógicos... Podrías, o no, intentarlo...