¿La relación de conmutación canónica fija la forma del operador de cantidad de movimiento?

Ya tiene respuestas "prácticas", por lo que tengo la intención de responder desde otro punto de vista.

Hay un teorema bastante famoso debido a Stone y von Neumann, luego mejorado por Mackay, y finalmente por Dixmier y Nelson, que a grandes rasgos establece el siguiente resultado dentro de la versión más elemental. (Otra versión del teorema se centra en los grupos unitarios generados por$X$y$P$evitando problemas con los dominios, sin embargo, me quedo aquí con la versión del operador autoadjunto).

TEOREMA. (declaración aproximada "para físicos") Si tiene un par de operadores autoadjuntos$X$y$P$definido en un espacio de Hilbert$H$tales que se conjugan entre sí:

(La declaración rigurosa, en esta versión similar a Nelson, se lee como sigue

TEOREMA. Dejar$X$y$P$ser un par de operadores autoadjuntos en un espacio complejo de Hilbert$H$tal que (a) verifican (1) en un subespacio denso invariante común$S\subset H$, (b)$X^2+P^2$es esencialmente autoadjunto en$S$y (c) todos los vectores en$S$son cíclicos para$X$y$P$. Entonces existe un operador unitario$U : L^2(\mathbb R, dx)\to H$tales que (2) son válidos para$\psi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$.

Tenga en cuenta que los operadores definidos en los lados derechos de (2) admiten extensiones autoadjuntas únicas, por lo que fijan completamente los operadores que representan los observables respectivos. Podemos reemplazar igualmente$C_0^\infty(\mathbb R)$para el espacio de Schwartz${\cal S}(\mathbb R)$en la última declaración).

Salvo tecnicismos, todo eso significa que las relaciones de conmutación en realidad fijan los observables de posición y momento, así como el espacio de Hilbert. Por ejemplo, refiriéndose a la respuesta de Murod Abdukhakimov, si la adición de$\partial f$a las expresiones estándar de$X$y$P$da lugar a operadores verdaderamente autoadjuntos, luego una transformación unitaria (solo esa conexión$\psi$a$\psi'$en la respuesta de Murod Abdukhakimov) se deshace de la deformación restaurando la expresión estándar. Recuerde que las transformaciones unitarias no alteran todos los objetos físicos de QM.

El resultado se extiende a$\mathbb R^n$, es decir, en relación con las partículas en el espacio para$n=3$. Eliminando el requisito de irreductibilidad, la tesis se mantiene de todos modos, pero$H$descomponga en una suma directa (¡no integral directa!) de subespacios cerrados donde la declaración fuerte es válida.

Hay importantes consecuencias de este teorema fundamental. Ante todo$H$debe ser separable como$L^2(\mathbb R,dx)$es. Además no hay operador de tiempo$T$(conjugado con el operador hamiltoniano$H$) existe si el identificador del operador hamiltoniano está acotado a continuación como requiere la física. Esta última afirmación se debe al hecho de que el teorema fija los espectros de$X$y$P$como los ejes reales enteros en ambos casos, de modo que el espectro de$H$no estaría acotado por debajo si$T,H$eran un par conjugado de operadores. Surge un teorema de no-go similar con respecto a la cuantización de una partícula en un círculo cuando se intenta definir operadores autoadjuntos de posición e impulso. El intento de resolver estos resultados fallidos dio lugar a una formulación más general de la mecánica cuántica basada en la noción de POVM y finalmente resultó ser muy útil en otros contextos como la teoría cuántica de la información.

Una observación importante es que el resultado de Stone-von Neumann - MacKay - Dixmier -Nelson falla cuando se trata de sistemas de dimensiones infinitas. Es decir, en términos generales, pasando del (espacio simpléctico) de un número finito de partículas al (espacio simpléctico) de un campo. En ese caso, las relaciones canónicas de conmutación de$X_i$y$P_j$son reemplazados por los de los campos cuánticos. P.ej:,

o versiones más sofisticadas de ellos. En esta coyuntura existen infinitas representaciones del álgebra de observables que no pueden ser conectadas por operadores unitarios. Este es un fenómeno bien conocido en QFT o mecánica estadística cuántica (en el límite termodinámico). Por ejemplo, la teoría libre y la teoría de la interacción de un campo cuántico dado no pueden representarse en el mismo espacio de Hilbert una vez que se asumen requisitos estándar sobre estados y observables (el llamado teorema de Haag y esta es la razón profunda por la que el formalismo LSZ utiliza la topología débil en lugar del fuerte como en la teoría cuántica estándar de la dispersión).

Si se incluyen cargas de superselecciones en el álgebra de observables, automáticamente surgen representaciones no unitariamente equivalentes del álgebra dando lugar a sectores.

En QFT en espaciotiempo curvo la aparición de representaciones no equivalentes del álgebra de observables es un fenómeno bastante común debido a la presencia de curvatura del espaciotiempo.

No. Puede agregar un cambio constante arbitrario (o un operador arbitrario que se desplaza con$x$) sin afectar el CCR.

Para QM unidimensional, la solución general del CCR con$\hat x$representado como multiplicación por$x$en funciones de onda con argumento$x$es$\hat p=\hat p_0-A(\hat x)~~$, donde$\hat p_0$es el operador de momento canónico , y$A(x)$es una función arbitraria de$x$.
Prueba. La diferencia$\hat A:=\hat p_0-\hat p~$viaja con$\hat x$, por lo tanto es una función de$\hat x$.

En un caso más general podría ser:

$p_x = -ih\frac{∂}{∂x}+\frac{∂f}{∂x}$

$p_y = -ih\frac{∂}{∂y}+\frac{∂f}{∂y}$

$p_z = -ih\frac{∂}{∂z}+\frac{∂f}{∂z}$

donde$f(x,y,z)$- función arbitraria.

Pero también puedes reemplazar la función de onda$\psi'=e^{-\frac{i}{h}f(x,y,z)}\psi$lo que te lleva de vuelta a la forma tradicional.

Parece una transformación de calibre, ¿no?