Relaciones de conmutación canónicas en coordenadas canónicas arbitrarias

La receta de cuantización

$$[\hat{x},\hat{y}] := \mathrm{i}\hbar\widehat{\{x,y\}}\tag{1}$$ para $x,y$dos coordenadas clásicas del espacio de fase tienen sus sutilezas. En particular, como dice la respuesta en la pregunta vinculada, conduce a resultados inconsistentes cuando se aplica, por ejemplo, a coordenadas polares. La razón de esto es doble:

1. Para la coordenada radial$r$, el operador ingenuo$\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\frac{\partial}{\partial r}$no es autoadjunto en$L^2([0,R],\mathrm{d}x)$debido a dominios no coincidentes de él y su adjunto. Sin embargo, convertirlo en autoadjunto de la manera mínima no resuelve el problema porque

2. En primer lugar, no deberíamos usar el soporte de Poisson.

¿Por qué no, puede preguntar, y por qué suele funcionar, de todos modos? No deberíamos usarlo porque el teorema de Groenewold-van Hove dice que ningún procedimiento de cuantificación puede proporcionar consistentemente un mapa de las funciones clásicas del espacio de fase.$f$a los operadores mecánicos cuánticos$\hat{f}$tal que

1. $(1)$sostiene

2. para cada polinomio$p$obtenemos$\widehat{p(f)} = p(\hat{f})$para cada función espacial de fase$f$

3. Los operadores que conmutan con todo son múltiplos de la identidad (irreduciblemente de la representación del álgebra de observables)

Entonces, debemos renunciar a uno de estos, y una forma que produce la teoría cuantizada correcta incluso para, por ejemplo, elecciones de coordenadas polares es usar la prescripción

$$[\hat{x},\hat{y}] := \mathrm{i}\hbar\widehat{\{\{x,y\}\}}$$ donde los corchetes doblados ahora indican el corchete de Moyal , que es una deformación del álgebra de Poisson con parámetro $\hbar$tal que concuerda con el paréntesis de Poisson de primer orden: $$\{\{f,g\}\} = \{f,g\} + \mathcal{O}(\hbar)$$ Este enfoque se conoce como cuantización de deformación , y al inspeccionar la definición explícita del corchete de Moyal (dado en el artículo vinculado de Wikipedia) en coordenadas cartesianas canónicas (ya que no se conserva bajo transformaciones canónicas), uno ve que está de acuerdo con el corchete de Poisson si aplicado a coordenadas cartesianas $x,p_x$, pero da correcciones de orden superior al paréntesis de coordenadas polares, lo que explica por qué la cuantificación canónica ingenua falla para las coordenadas polares.