Expectativa de una relación de conmutación

Sí. El conmutador de un operador con el hamiltoniano está relacionado con la tasa de cambio del valor esperado del operador.

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle = \langle \frac{\partial}{\partial t} \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle + \langle \Psi \mid \frac{\partial}{\partial t} \hat{O} \mid \Psi \rangle + \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \frac{\partial}{\partial t} \Psi \rangle$$

aplicando la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \mid \Psi \rangle = H\mid\Psi\rangle$$

y su conjugado, obtenemos

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \left(\langle \Psi \mid H \hat{O}\mid\Psi\rangle - \langle \Psi \mid \hat{O}H\mid\Psi\rangle\right) + \langle \Psi \mid \frac{\partial}{\partial t}\hat{O}\mid\Psi\rangle$$

donde hemos explotado ese hecho de que$H$es hermitiano. La combinación de los dos primeros términos da

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle \Psi \mid [H,\hat{O}] \mid \Psi \rangle + \langle \Psi \mid \frac{\partial}{\partial t}\hat{O}\mid\Psi\rangle$$

Específicamente, si el conmutador es cero, como especificó, y el operador es independiente del tiempo, entonces su valor esperado no cambia.

Como sugirió Ron, podemos obtener un poco más de este análisis. El principio de incertidumbre generalizada establece

$$\sigma_H\sigma_O \geq |\langle \Psi \mid \frac{1}{2i}[H,O]\mid\Psi\rangle|$$

Usando la relación anterior y asumiendo que el operador es independiente del tiempo, obtenemos

$$\sigma_H\sigma_O \geq \frac{\hbar}{2}\left|\frac{\textrm{d}\langle\hat{O}\rangle}{\textrm{d}t}\right|$$

o

$$\sigma_H\frac{\sigma_O}{\left|\frac{\textrm{d}\langle\hat{O}\rangle}{\textrm{d}t}\right|} \geq \frac{\hbar}{2}$$

$\sigma_O$representa la dispersión en$\hat{O}$. Si$\langle \hat{O}\rangle$cambios por$\sigma_O$, que indica un cambio significativo. Entonces$\frac{\sigma_O}{\left|\frac{\textrm{d}\langle\hat{O}\rangle}{\textrm{d}t}\right|}$representa una escala de tiempo en la que$\langle \hat{O}\rangle$cambia una cantidad significativa. Si llamamos a eso$\Delta t$y llame a la desviación estándar en la energía$\Delta E$, tenemos

$$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$