¿Cuál es el significado de conmutar hamiltonianos?

Tengo dos hamiltonianos mecánicos cuánticos tales que

[ H ^ 1 , H ^ 2 ] = 0 ,
dónde H ^ 1 y H ^ 2 actuar sobre el mismo conjunto de estados. ¿Qué se puede inferir físicamente acerca de estos dos hamiltonianos? ¿Hay otras sutilezas matemáticas que no se mencionaron en "¿ Cuál es el significado físico de la conmutación de dos operadores? " para el caso de dos hamiltonianos?

De mirar alrededor tengo estas propiedades:

  • Tratándolos como observables puedo medirlos simultáneamente.
  • Comparten el mismo conjunto de estados propios y, por lo tanto, cualquier estado puede expandirse como una suma de estos.
  • Ambos pueden ser diagonalizados simultáneamente.

¿Hay más propiedades o sutilezas en esta relación?

EDITAR: Editado después de los comentarios que señalan que hay poco que decir si actúan individualmente en diferentes subsistemas, aparte del hecho de que comparten estados propios cuando actúan en ambos sistemas juntos.

Hmmm... ¿puedes explicar por qué deberían compartir el mismo conjunto de estados propios? Si H 1 actúa sobre un subespacio y H 2 actúa sobre uno independiente, conmutarán, pero estructuralmente pueden ser completamente diferentes y tener un conjunto de estados propios completamente diferente. Eso no es lo que quieres decir, ¿verdad?
@CuriousOne Si los valores propios de H 1 son | norte > y los de H 2 son | metro > , entonces en el sistema completo compartirán el conjunto de autoestados | norte , metro > .
Si H 1 y H 2 actuar sobre subespacios independientes V 1 y V 2 respectivamente, podemos elegir cualquier base de V 1 para una base de estados propios de H 2 , por lo que en particular una base de estados propios asociados a H 1 . Eso significa que existe un conjunto compartido de estados propios.
Dos "Hamiltonianos" actúan genéricamente sobre diferentes espacios de estados, es decir, hay un espacio de Hilbert asociado a cada uno. No es obvio lo que quiere decir cuando habla del conmutador de operadores en diferentes espacios.
@Noiralef: Eso es lo que pensé que significaba... simplemente no es una propiedad muy sólida.
@Hrodelbert: H 1 y H 2 ni siquiera tiene que tener la misma dimensionalidad, por lo que no hay absolutamente ninguna razón para suponer que uno puede expresar un conjunto de estados propios en las bases de otro.
Todos ustedes están siendo increíblemente útiles, gracias. ¿Y si actúan sobre el mismo espacio de estados? ¿Hay algo que decir entonces?
Si resulta más interesante, puedo hacer la pregunta más específica para que sea posible responderla.
Pregunta actualizada, con suerte correctamente.
@CuriousOne No estoy seguro de por qué no estamos de acuerdo con esto: los dos hamiltonianos deben definirse en el mismo espacio de Hilbert H (de lo contrario, tal identidad de conmutador no tiene sentido desde el principio). Por lo tanto, "actuar sobre diferentes subespacios" solo puede significar que podemos escribir H = V 1 ⊕ V 2 y escribe H 1 = H 1 ~ ⊕ 1 y H 2 = 1 ⊕ H 2 ~ , en línea con mi comentario anterior
@Hrodelbert: las partes no triviales de ambos hamiltonianos no tienen que tener la misma dimensionalidad, por lo que resolver uno no dice nada sobre el otro.
@CuriousOne Tiene toda la razón, pero ese nunca fue el reclamo: solo queremos una base de estados propios, que es posible para estos hamiltonianos.
Sin embargo, la separación trivial de variables no te da mucho. Yo (y probablemente el OP también) esperaba algo más "jugoso".
@CuriousOne Comprensible. Solo estaba tratando de transmitir el punto de que los hamiltonianos que viajan diariamente realmente comparten una base de estados propios ya que usted estaba cuestionando esto en su primer comentario.
@Hrodelbert: concedido... Todavía espero un poco más. ¿Algunas ideas?
Al analizar la evolución de un sistema dinámico, si el hamiltoniano del sistema conmuta consigo mismo en diferentes tiempos, existe una solución "simple" para la ecuación de Schrödinger ( i ℏ ∂ ∂ t tu = H tu ) , | ψ ( t ) ⟩ = tu ( t ) | ψ ( t 0 ) ⟩ - tu ( t ) = mi − i ℏ ∫ t 0 t H ( t ) d t . Si no es viajar - tu viene dada por una especie de "expansión de taylor" llamada "serie Dyson", que no es muy bonita en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series

Respuestas (2)

Comentarios a la pregunta (v2):

  1. Parece que la pregunta no explica cómo un 'hamiltoniano' H difiere de un operador autoadjunto A (presumiblemente limitado desde abajo). Esto haría que la pregunta de OP fuera un duplicado de la publicación Phys.SE vinculada .

  2. Quizás un 'Hamiltoniano' H también se supone que genera la evolución del 'tiempo' para algún parámetro distinguido t , que puede o no ser el tiempo real? Luego considere un universo con dos direcciones de 'tiempo' t 1 y t 2 , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Los dos hamiltonianos que viajan diariamente [ H 1 , H 2 ] = 0 significa que uno obtiene el mismo resultado si primero 'evoluciona en el tiempo' mi i H 1 t 1 / ℏ wrt. t 1 y luego 'tiempo'-evolucionar mi i H 2 t 2 / ℏ wrt. t 2 , como se obtendría si se hiciera al revés. En otras palabras, t 1 y t 2 representan flujos de desplazamiento, y tiene sentido especificar un estado con dos coordenadas de 'tiempo' ( t 1 , t 2 ) .

Al menos una respuesta parcial a su pregunta es que los hamiltonianos conmutantes lo ayudan a resolver el sistema físico descrito por uno de ellos: en particular, si su sistema tiene norte grados de libertad y tienes norte viajando hamiltonianos, hay buenas esperanzas de que pueda trivializar el problema y resolverlo exactamente. En mecánica clásica, esto se conoce como integrabilidad de Liouville (donde la conmutatividad está asociada a un corchete de Poisson). En mecánica cuántica, la noción no está completamente bien definida, aunque buscar el término integrabilidad cuántica le proporcionará un amplio material de lectura. Debido a la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg

d A d t = [ A , H ] ,
dónde A es un operador, vemos que si H 1 es el hamiltoniano que rige la evolución del tiempo, H 2 se conserva en el tiempo. Pero dado que muchos espacios de Hilbert conocidos son de dimensión infinita, usar lo anterior en la práctica es más difícil.

Tenga en cuenta que para modelos mecánicos cuánticos como cadenas de espín ( norte partículas fijas que interactúan a través de grados de libertad de espín), el espacio de estados es de dimensión finita y todo lo anterior ayuda.

No estoy al tanto de que incluso la ecuación unidimensional de Schroedinger pueda integrarse en general para potenciales arbitrarios, por lo que incluso la independencia completa de todas las variables no garantiza que el problema tenga una solución simple.
No, eso es cierto. Pero la ecuación de Schroedinger unidimensional tampoco está representada por un hamiltoniano unidimensional: actúa sobre un espacio de funciones que suele ser de dimensión infinita.
Sí, QM es una bestia, incluso para el caso más simple. Podemos estar contentos, históricamente, de que el problema del hidrógeno tenga una solución tan buena, o Schroedinger se habría metido en muchos problemas para defender su ecuación...
Sí, hurra hidrógeno :)
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