¿Qué se entiende por evolución temporal unitaria?

Sí, hay una diferencia. La evolución temporal unitaria es el tipo específico de evolución temporal donde se conserva la probabilidad. En la mecánica cuántica, normalmente se trata de la evolución del tiempo unitario.

Suponga que tiene un estado (en el momento$t=0$) dada por$|\alpha \rangle$. Para encontrar el estado en un momento posterior$t=T$dada por$|\alpha (T) \rangle$, aplicamos el operador de evolución temporal (unitario)$U$:

$$U|\alpha \rangle = |\alpha (T) \rangle$$

dónde

$$U = e^{-iHT}$$

y$H=$hamiltoniano del sistema, que es hermitiano.

La conservación de la probabilidad matemáticamente significa:

$$\langle \alpha|\alpha \rangle = \langle \alpha (T)|\alpha (T) \rangle$$

Físicamente, significa que la probabilidad de existencia del sistema cuántico, descrito inicialmente por el estado$|\alpha \rangle$y luego por$|\alpha (T) \rangle$, no cambia con el tiempo. El sistema cuántico existe en$t=0$con probabilidad$=1$, y también en$t=T$con probabilidad$=1$. El estado evoluciona en el tiempo desde$t=0$a$t=T$, pero no se filtra información sobre el sistema cuántico durante este intervalo de tiempo. El sistema que existía en$t=0$continúa existiendo en su totalidad más tarde en$t=T$. Esto es físicamente significativo para exigir de una teoría, porque la información sobre un estado no debería perderse durante la evolución. Claro, la información puede enredarse a medida que pasa el tiempo, pero en principio, toda debería estar allí. Por ejemplo, si quema un libro sobre carbón, la información del interior del libro se pierde a todos los efectos prácticos. Pero, toda la información todavía existe, en principio , codificada en las correlaciones entre partículas de carbón y ceniza.

A veces, es más fácil/útil explicar ciertos fenómenos abandonando la evolución temporal unitaria, por ejemplo, en partículas inestables o desintegración radiactiva. Allí, a medida que pasa el tiempo, el estado madre decae en estados hijos. Si observa solo el subsistema del estado madre , no sufre una evolución temporal unitaria porque pierde información sobre su estado con el paso del tiempo. La información se pierde en los subsistemas del estado hijo. La probabilidad (de que exista el estado madre) no se conserva; disminuye (exponencialmente) con el tiempo. Si observa el sistema completo , como un todo, la evolución es unitaria, como se esperaba. Pero en la radiactividad, a menudo solo necesitamos saber cómo funciona el subsistema del estado madre.se desintegra

Sí, hay una diferencia entre la evolución temporal y la evolución temporal unitaria. La evolución no unitaria se deriva de tener un subsistema.

Considere una mezcla estadística de sistemas puros, es decir, suponga que hay un conjunto de sistemas de modo que una fracción$p_1$esta en estado$|1>$,$p_2$están en estado$|2>$, etcétera. Entonces, todo el conjunto estadístico puede describirse mediante la llamada matriz de densidad,$\rho = \sum_i |i><i|$. Podemos considerar la evolución de este operador de densidad, que a menudo se escribe como la llamada ecuación de Liouville$\frac{d\rho}{dt}=\mathcal{L}\rho$. Aquí$\mathcal{L}$es el "Liouvillian", un operador que transiciones$\rho$en el tiempo como$U$cambia el estado puro a tiempo para un estado puro.

Si la dinámica está gobernada por un hamiltoniano, entonces el liouvilliano (el "propagador" del estado) es simplemente su relación de conmutación con el estado,$\mathcal{L}=-i/\hbar (H\rho-\rho H)$. Esto corresponde a la evolución hamiltoniana estándar y es unitaria.

Considere, sin embargo, observar solo un subsistema del sistema extendido. El estado de dicho subsistema se puede describir mediante un operador de densidad "reducida", que en realidad es solo un operador de densidad (matriz) que describe solo el subsistema. Sin embargo, aunque la evolución del sistema extendido es unitaria y sigue un hamiltoniano, la evolución de la densidad del subsistema generalmente no sigue un hamiltoniano y no es unitaria. En cambio, a menudo es "disipativo". Por ejemplo, el subsistema podría disipar energía en el medio ambiente y enfriarse a un estado térmico.

No existe una forma simple general para el Liouvillian (el propagador) para subsistemas. Un caso relativamente simple es cuando el subsistema evoluciona de manera markoviana, que suele ser el caso de los sistemas que se equilibran térmicamente. Luego, el Liouvillian tiene un término unitario, impulsado por un hamiltoniano como el anterior, pero también una corrección: un término no hamiltoniano, un término que sigue una forma especial llamada "forma de Lindblad" en lugar de la conmutación-con-el-estado escrito arriba.

Entonces, la evolución no unitaria está en todas partes. Siempre que no pueda descuidar las interacciones con el medio ambiente, de modo que, por ejemplo, se equilibre térmicamente con él, tiene una evolución no unitaria (hay algunas advertencias, pero casi siempre es cierto). Lo difícil es poner en marcha una evolución unitaria. Debe aislar su sistema del entorno lo suficiente como para poder ignorar la termalización, etc.

La mayor diferencia, quizás, entre estos dos tipos de evoluciones es que la evolución no unitaria (genéricamente) no es reversible. Así es como se obtiene la termalización. La dinámica no unitaria también puede cambiar las poblaciones, lo que refleja, por ejemplo, una disminución en los estados de alta energía a medida que el sistema se enfría hacia su estado fundamental.

La mecánica cuántica es una teoría probabilística y todas las probabilidades siempre deben sumar 1. Esto impone una restricción a la teoría; a medida que el estado del sistema evoluciona en el tiempo, la probabilidad total debe permanecer fija.

Si denotamos el estado del sistema en el momento$t$como$|\psi(t)\rangle$entonces podemos definir el operador de evolución temporal$U(t^\prime)$como el operador por

$$U(t^\prime)|\psi(t)\rangle = |\psi(t+t^\prime)\rangle$$ para que tome un estado en el tiempo$t$y nos da el estado un tiempo$t^\prime$más tarde. Ahora bien, el requisito de que la probabilidad se conserva nos dice que

$$\begin{align} \langle \psi(t) | \psi(t)\rangle &= \langle \psi(t+t^\prime) | \psi(t+t^\prime)\rangle \\ &= \langle \psi(t) |U(t^\prime)^\dagger U(t^\prime)| \psi(t)\rangle \end{align}$$ para todos los estados$| \psi(t)\rangle$. Esto implica que $$U(t^\prime)^\dagger U(t^\prime) = 1$$ lo que implica que$U(t)$es un operador unitario.

En consecuencia, este tipo de evolución temporal se conoce como evolución temporal unitaria. Esto tiene muchos resultados importantes sobre lo que es posible cuando un estado cuántico evoluciona en el tiempo, como el teorema de no clonación.