¿Por qué el hamiltoniano sigue la propiedad H∗ij=HjiHij∗=HjiH^*_{ij} = H_{ji} ?

Bien, entonces, hagamos que esto vaya bien.

La propiedad de la que está hablando recibe diferentes nombres que puede buscar en Google: por ejemplo, que la matriz hamiltoniana debe ser autoadjunta (donde el adjunto es la transposición conjugada) o hermitiana .

La propiedad más fácil de probar sobre las matrices hermitianas es que tienen valores propios reales, por su característica definitoria$\langle H \psi| \psi\rangle = \langle \psi| H \psi\rangle$combina con la propiedad$\langle a | b\rangle = \left(\langle b | a\rangle\right)^*$decir que cierto número (un "valor esperado") es igual a su propio conjugado, lo cual solo es cierto para los números reales.

¿Cómo se conecta esto con la conservación de la probabilidad? La probabilidad total es

$$P = \sum_i C_i^* ~ C_i$$ y la ecuación de Schrödinger 8.39 que presenta es: $$i\hbar\,\frac{\rm dC_i}{\rm dt}=\sum_jH_{ij}(t)C_j(t).$$ Por lo tanto, la expresión conjugada debe ser: $$-i\hbar\,\frac{\rm dC_i^*}{\rm dt}=\sum_jH_{ij}^*(t)C_j^*(t).$$ Ahora tomemos una derivada de $P$con la regla del producto, como: $$\begin{align}i\hbar \frac{dP}{dt} &= i\hbar \sum_i \left({\rm dC_i^*\over \rm dt} ~ C_i + C_i^* ~ {\rm dC_i\over \rm dt}\right)\\ &= \sum_{ij}\left(C_i^* ~H_{ij} ~C_j - H_{ij}^* ~C_j^*~ C_i\right)\end{align}$$ Ahora hacemos un truco sucio: dividimos esta suma en sus dos términos y volvemos a etiquetar cada parte de la suma de manera diferente. En el primer término tomamos $i \mapsto m$y $j \mapsto n$. Pero en el segundo término tomamos $i \mapsto n$y $j \mapsto m$. Luego combinamos ambos términos para encontrar: $$i\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \sum_{mn}\left(C_m^* ~H_{mn} ~C_n - H_{nm}^* ~C_m^*~ C_n\right),$$ y, combinando términos semejantes: $$i\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \sum_{mn}C^*_m~C_n \left(H_{mn} - H_{nm}^*\right).$$ La implicación es que si queremos $\rm dP/\rm dt = 0$para todos $C_n$(la probabilidad total no escapa al sistema) entonces debemos tener que la matriz entre paréntesis es la matriz 0.

¿Por qué? En realidad no es demasiado complicado de ver. Si robamos el$i$desde la izquierda para definir

$$D_{mn} = -i \left(H_{mn} - H_{nm}^*\right),$$ entonces sabemos con certeza que $D_{mn}$es hermítica por construcción. (Solo toma su transpuesta conjugada, te reto). Debido a que es hermítica, nunca es defectuosa y podemos diagonalizarla con valores propios reales a lo largo de la diagonal. Ahora cualquiera de estos valores propios $\lambda$es distinto de cero, en cuyo caso podemos usar el vector propio correspondiente como $C_n$arriba y obtenemos $\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \lambda \sum_m C_m^* C_m = \lambda P$, violando la conservación de la probabilidad, o bien todos los valores propios son 0 y esta expresión es la matriz 0. Pero la matriz 0 tiene componentes todos ceros en todas las bases, no solo en su base propia, por lo tanto $H_{mn} = H^*_{nm}$en general.

Si esa propiedad no se cumple, entonces$H$no es hermitiano. Esto significa que sus valores propios pueden ser complejos y el operador de evolución temporal no será unitario:$U(t)U(t)^\dagger=e^\frac{iHt-itH^\dagger }{\hbar} \neq1$

Si no es unitario, cambiará la longitud de sus vectores de estado que está evolucionando. Dado que la longitud de estos ($\sum_i |C_i(t)|^2$) los vectores son la suma de las probabilidades, su probabilidad total no se conservará.

A lo que en realidad se refiere es al hecho matemático de que para que la norma estándar (longitud) de$n$-tupla$[C_j]_{j=1,2,...n}$para ser preservado durante la evolución determinada por la ecuación

$$\frac{\rm dC_i}{\rm dt} = -\frac{i}{\hbar} \sum_j H_{ij} C_j$$ dónde $H_{ij}$es una matriz compleja independiente del tiempo, esta matriz debe ser hermítica, es decir, obedecer la condición para todos los pares $i,j$,

$$H_{ij}^* = H_{ji}.$$

Esto se puede demostrar a partir de la condición de que la norma al cuadrado es constante en el tiempo:

$$\frac{\rm d}{\rm dt}\bigg(\sum_i C_i^*C_i\bigg)=0$$

y usando la ecuación diferencial anterior.

Feynman simplemente reformula esto y usa el término "probabilidad total" en lugar de "norma al cuadrado", porque es común interpretar$|C_i|^2$como probabilidad de que$i^{\textrm{th}}$valor propio de$H$será medido.