Prueba de normalización de la función de onda.

Los tratamientos estándar de la mecánica cuántica comienzan asumiendo la ecuación de Schrödinger, pero es mejor hacerlo al revés. Hay argumentos matemáticos mucho más profundos a partir de la interpretación de la probabilidad, que desafortunadamente generalmente se omiten en los libros de texto. Comenzando con la interpretación de la probabilidad, naturalmente normalizamos la función de onda. Luego mostramos que preservar la interpretación de probabilidad requiere unitaridad. Luego, por medio del teorema de Stone, podemos probar la ecuación de Schrödinger, mostrando que en realidad es un teorema, no un postulado. He dado la siguiente derivación en mi libro The Mathematics of Gravity and Quanta . Se aplica a comportamientos fundamentales en la mecánica cuántica relativista, en lugar de sistemas específicos.

si a la hora$t_0$el ket es$|f(t_0) \rangle$, entonces el ket a la vez$t$viene dada por el operador de evolución,$U(t,t_0):\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$(esto no es específico de un espacio de Hilbert de partículas), tal que

$$|f(t) \rangle = U(t,t_0)|f(t_0) \rangle.$$ Se espera que la evolución de los kets sea continua porque los kets no son estados físicos de la materia, sino declaraciones probabilísticas sobre lo que podría suceder en la medición dada la información actual. Las probabilidades se aplican a nuestras ideas sobre la probabilidad de eventos (este es un principio fundamental de una interpretación bayesiana moderna de la teoría de la probabilidad). Ya sea que la realidad sea fundamentalmente discreta o no, la probabilidad se describe correctamente en un continuo matemático (en el sentido de que un continuo significa que las medidas de posición son lo suficientemente precisas como para que la discreción no tenga un impacto práctico en las predicciones). Una interacción discreta no conducirá a un cambio discreto en la probabilidad porque no tenemos información exacta sobre cuándo tiene lugar la interacción. Siendo esto así,$U$se espera que sea una función continua del tiempo.

Si el ket en el tiempo$t_0$era cualquiera$|f(t_0) \rangle$o$|g(t_0) \rangle$, entonces evolucionará a cualquiera$|f(t) \rangle$o$|g(t) \rangle$en el momento$t$. A falta de más información, se conservará cualquier ponderación en OR (la superposición se interpreta correctamente como OR en una lógica de muchos valores). Entonces,$U$es lineal,

$$U(t,t_0)[a|f(t_0)\rangle + b|f(t_0)\rangle]= aU(t,t_0)|f(t_0)\rangle + bU(t,t_0)|f(t_0)\rangle .$$ Dado que las leyes locales de la física son siempre las mismas, y$U$no depende del ket sobre el que actúa, la forma del operador de evolución para un lapso de tiempo$t$, $$U(t) = U(t+t_0,t_0)$$ no depende de$t_0$. Requerimos que la evolución en un lapso$t_1 + t_2$es lo mismo que la evolución en$t_1$seguida de la evolución en$t_2$, y también es igual a la evolución en$t_2$seguida de la evolución en$t_1$, $$U(t_2)U(t_1) = U(t_2 + t_1) = U(t_1)U(t_2) .$$ usando negativo$t$invierte la evolución del tiempo (poner$t=t_1=-t_2$) $$U(-t) = U(t)^{-1} .$$ En el lapso de tiempo cero, no hay evolución, $$U(0)=1 .$$

El resultado del cálculo de la probabilidad de un resultado de medición.$g$en el momento$t_2$dada una condición inicial$f$en el momento$t_1$no se ve afectado por el momento en que se calcula (parámetro de tiempo para el espacio de Hilbert). Dado que los kets se pueden elegir para que se normalicen, podemos requerir que$U$conserva la norma, es decir, para todos$|g\rangle$,

$$\langle g |U^\dagger U |g\rangle = \langle g|g \rangle .$$ Aplicando esto a$|g\rangle + |f\rangle$, $$( \langle g| + \langle f | )U^\dagger U (|g\rangle + |f\rangle)= ( \langle g| + \langle f | )(|g\rangle + |f\rangle)$$

Por linealidad de$U$,

$$( \langle g|U^\dagger + \langle f |U^\dagger ) (U|g\rangle + U|f\rangle)= ( \langle g| + \langle f | )(|g\rangle + |f\rangle) .$$ Por la linealidad del producto interno, podemos multiplicar los paréntesis. Después de cancelar términos iguales $$\langle g| U^\dagger U |f\rangle + \langle f| U^\dagger U |g\rangle = \langle g |f\rangle + \langle f| g \rangle .$$ De manera similar, aplicando el argumento a$|g\rangle + i|f\rangle>$ $$\langle g| U^\dagger U |f\rangle - \langle f| U^\dagger U |g\rangle = \langle g |f\rangle - \langle f| g \rangle .$$

Agregar muestra que para todos$|g\rangle, |f\rangle$

$$\langle g| U^\dagger U |f\rangle = \langle g| f \rangle .$$ Es decir$U$es unitario.

Esto establece las condiciones para el teorema de Stone. En el libro doy una prueba del teorema de Stone y encuentro la ecuación de Schrödinger como un simple corolario.