¿Por qué la evolución temporal es unitaria? - La versión de la imagen de Heisenberg

Question

¿Por qué la evolución temporal es unitaria? - La versión de la imagen de Heisenberg

Física
operadores
unitaridad
espacio de hilbert
evolución del tiempo
mecánica cuántica

látigo cuántico

Ya hay varias versiones de esta pregunta en este sitio, que intentan justificar / hacer plausible que la evolución temporal de los observables mecánicos cuánticos sea unitaria. La mayoría de estas preguntas ya emplean los supuestos de que los estados son elementos de un espacio de Hilbert complejo, la linealidad en la evolución temporal, los vectores propios del operador hermitiano que abarcan este espacio de Hilbert y que la norma cuadrática de la proyección de un estado al espacio propio de un operador da la probabilidad de medir el valor propio del operador (Ver por ejemplo esta o esta pregunta).

La respuesta a la pregunta suele ser que la evolución temporal debería preservar la norma de un estado dado, porque interpretamos esta norma como la probabilidad general. An Answer también sugiere que incluso si descartamos la interpretación de probabilidad con la norma de 2 al cuadrado, este documento muestra que lo no unitario viene con propiedades desagradables como la señalización superliminal o la distinguibilidad de estados no ortogonales.

Sin embargo, cada una de estas preguntas (e incluso el artículo dado) responde solo desde la perspectiva de la imagen de Schroedinger:

Me gustaría saber si se pueden dar razonamientos similares si estamos en la imagen de Heisenberg desde el principio (y ni siquiera sabemos sobre la existencia de la imagen de Schroedinger). ¿Alguna vez se ha formulado algo así? ¿O es esta la imagen de Schroedinger más general en ese sentido?

Lo que se me ocurrió: Si asumo (por cualquier razón) que

\hat{A} (d t) = {\hat{tu}}^{- 1} A (0) \hat{tu}

$\hat{A}(\delta t) = \hat{U}^{-1} A(0) \hat{U}$ y

\hat{A} (0)

$\hat{A}(0)$ era un operador normal, entonces

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ debería ser normal también (porque al menos quiero

\hat{A} (0)

$\hat{A}(0)$ y

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ para abarcar el espacio de Hilbert completo con sus vectores propios. Esto es algo que considero un requisito plausible para los operadores que corresponden a observables. si elijo

\hat{U}

$\hat{U}$ ser unitario, entonces

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ es un operador normal; sin embargo, no sé cómo mostrar que esta es la única forma de

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ ser normal

Editar: dado que todos los argumentos que se han establecido en las respuestas que tratan con la imagen de Schroedinger solo hablan de sistemas cuánticos cerrados (contrarios a abiertos), no veo la necesidad de hablar sobre casos en sistemas cuánticos abiertos (o subsistemas), donde la evolución del tiempo no es necesariamente unitaria.

anomalía quiral

Si mi interpretación de la Proposición 2 en Implementación unitaria de grupos de automorfismos en álgebras de von Neumann es correcta, entonces un grupo de automorfismos de 1 parámetro de un álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert dado siempre se implementa mediante un grupo de transformaciones unitarias de 1 parámetro. Con eso, la pregunta es: ¿por qué la evolución del tiempo debe estar dada por automorfismos del álgebra de operadores (en la imagen de Heisenberg)?

látigo cuántico

@ChiralAnomaly Estoy de acuerdo con su conclusión, aunque no tengo ni idea sobre las álgebras de Von-Neumann y lo que está codificado en ellas.

anomalía quiral

Un álgebra vN es una forma natural de "completar" un conjunto dado de observables con respecto a sumas, productos y límites. Si

Ω

$\Omega$ es un conjunto de observables y

Ω^{'}

$\Omega'$ es el conjunto de todos los operadores que conmutan con todo en

Ω

$\Omega$ , entonces

(Ω^{'})^{'}

$(\Omega')'$ es el álgebra vN más pequeña que contiene

Ω

$\Omega$ . En general,

(Ω^{'})^{'}

$(\Omega')'$ no contiene todos los operadores en el espacio de Hilbert (porque algunos de ellos pueden conmutar con todos los observables de la teoría), y me preguntaba si podría admitir grupos de automorfismos de 1 parámetro no unitarios. El teorema que cité parece decir que eso no sucede.

roger vadim

Si ni siquiera conocemos la existencia de la imagen de Schroedinger , entonces, ¿dónde funciona el operador?

U (t)

$U(t)$ ¿viene de? La unitaridad es un reflejo matemático de la simetría de inversión temporal de las leyes del movimiento. Entonces, si no queremos apegarnos al espacio de Hilbert, etc., no deberíamos hablar de unitaridad , sino solo de las ecuaciones de movimiento y su simetría con respecto a la inversión del tiempo.

Respuestas (2)

¿Por qué la evolución temporal es unitaria? - La versión de la imagen de Heisenberg

Si mi interpretación de la Proposición 2 en Implementación unitaria de grupos de automorfismos en álgebras de von Neumann es correcta, entonces un grupo de automorfismos de 1 parámetro de un álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert dado siempre se implementa mediante un grupo de transformaciones unitarias de 1 parámetro. Con eso, la pregunta es: ¿por qué la evolución del tiempo debe estar dada por automorfismos del álgebra de operadores (en la imagen de Heisenberg)?
@ChiralAnomaly Estoy de acuerdo con su conclusión, aunque no tengo ni idea sobre las álgebras de Von-Neumann y lo que está codificado en ellas.
Un álgebra vN es una forma natural de "completar" un conjunto dado de observables con respecto a sumas, productos y límites. Si $\Omega$ es un conjunto de observables y $\Omega'$ es el conjunto de todos los operadores que conmutan con todo en $\Omega$ , entonces $(\Omega')'$ es el álgebra vN más pequeña que contiene $\Omega$ . En general, $(\Omega')'$ no contiene todos los operadores en el espacio de Hilbert (porque algunos de ellos pueden conmutar con todos los observables de la teoría), y me preguntaba si podría admitir grupos de automorfismos de 1 parámetro no unitarios. El teorema que cité parece decir que eso no sucede.
Si ni siquiera conocemos la existencia de la imagen de Schroedinger , entonces, ¿dónde funciona el operador? $U(t)$ ¿viene de? La unitaridad es un reflejo matemático de la simetría de inversión temporal de las leyes del movimiento. Entonces, si no queremos apegarnos al espacio de Hilbert, etc., no deberíamos hablar de unitaridad , sino solo de las ecuaciones de movimiento y su simetría con respecto a la inversión del tiempo.

Valter Moretti · Answer 1

Depende de las hipótesis, en particular del conjunto de observables que asumas.

Si se supone que los observables elementales SÍ-NO (también conocidos como pruebas ) son los proyectores ortogonales en un espacio de Hilbert, surge naturalmente una prueba.

Desde este punto de vista, se espera que la estructura reticular sea preservada por la evolución del tiempo en vista de su interpretación lógica.

En otras palabras, si $P\in {\cal L}(H)$ es un observable elemental, donde ${\cal L}(H)$ es la red de proyectores ortogonales en el espacio de Hilbert $H$ , la evolución temporal es una familia de mapas

s_{t} : L (H) ∋ PAG \mapsto s_{t} (PAG) \in L (H),

$s_t : {\cal L}(H) \ni P \mapsto s_t(P) \in {\cal L}(H)\:,$ para

t \in R

$t\in \mathbb R$ satisfaciendo algunas propiedades. Estas propiedades son naturales para sistemas aislados (cerrados) o sistemas que evolucionan en un entorno estacionario:

(1) Debería ser biyectiva (se espera que la evolución temporal sea biyectiva para sistemas cerrados en un entorno estacionario).

(2) Debería conservar la estructura reticular ortocomplementada (la evolución temporal conserva las relaciones lógicas como ya se ha dicho).

(3) Debe ser aditivo $s_t s_u = s_{t+u}$ (ambiente estacionario).

Asumiendo la hipótesis técnica de que $H$ es

(4) separable con dimensión $>2$ ,

entonces los teoremas de Gleason y Kadison implican que, para cada $t\in \mathbb R$ hay un mapa unitario o antiunitario $U_t : H \to H$ , definido hasta fases multiplicativas en función de $t$ , tal que

s_{t} (PAG) = {tu}_{t} PAG {tu}_{t}^{- 1} .

$s_t(P) = U_t P U_t^{-1}\:.$ Además, no es difícil probar que (3) produce

U_{t} U_{u} = χ (t, u) U_{t + u}

$U_tU_u = \chi(t,u) U_{t+u}$ dónde

χ (t, u) \in C

$\chi(t,u) \in \mathbb{C}$ con

| χ (t, u) | = 1

$|\chi(t,u)|=1$ . Por eso

χ (t / 2, t / 2)^{- 1} U_{t / 2} U_{t / 2} = U_{t}

$\chi(t/2,t/2)^{-1} U_{t/2}U_{t/2} = U_{t}$ . De eso tenemos que

U_{t}

$U_t$ debe ser unitario.

Hasta ahora hemos obtenido que $\mathbb{R} \ni t \mapsto U_t$ es una representación proyectiva unitaria del grupo Abelian Lie $\mathbb{R}$ .

Supongamos otra hipótesis de continuidad (se puede justificar afirmando que los valores esperados de los observables evolucionan continuamente en el tiempo para cualquier estado cuántico [= una medida de probabilidad en la red de observables elementales])

(5) $\mathbb{R} \ni t \mapsto |\langle \psi, U_t \phi\rangle|$ es continua para cada $\psi, \phi \in H$ .

Un teorema debido a Bargmann (utilizando el hecho de que $\mathbb R$ tiene cohomología trivial como un grupo de Lie) implica que es posible cambiar las fases de $U_t$ , es decir, reemplazando $U_t$ para $V_t := \chi(t) U_t$ y fases adecuadas $\chi(t)$ , para que

R ∋ t \mapsto V_{t}

$\mathbb{R} \ni t \mapsto V_t$ es una representación unitaria, fuertemente continua de

R

$\mathbb{R}$ .

En otras palabras $\mathbb{R} \ni t \mapsto V_t\psi$ es continua para cada $\psi \in H$ , $V_tV_u = V_{t+u}$ , $V_0=I$ y cada $V_t : H \to H$ es unitario.

Por construcción,

s_{t} (PAG) = V_{t} PAG V_{t}^{- 1}

$s_t(P) = V_t P V_t^{-1}$ Por descomposición espectral, si

A^{*} = A = \int_{R} λ d P_{λ}^{(A)}

$A^* = A = \int_\mathbb{R} \lambda dP^{(A)}_\lambda$ la acción anterior se extiende a observables generales:

s_{t} (A) := \int_{R} λ d {PAG}_{λ}^{(V_{t} A V_{t}^{- 1})} = V_{t} A V_{t}^{- 1} .

$s_t(A) := \int_\mathbb{R} \lambda dP^{(V_tAV_t^{-1})}_\lambda = V_t A V_t^{-1}\:.$

La continuidad fuerte implica que hay un observable único $H$ , tal que $V_t = e^{itH}$ "descubrir" la imagen de Heisenberg.

La suposición crucial aquí es que el conjunto de proposiciones elementales consiste en toda la familia de proyectores ortogonales. Eso es equivalente a requerir que el álgebra de observables de von Neumann esté hecha de todos los operadores autoadjuntos (acotados) en $H$ . Sabemos que esta hipótesis es físicamente insostenible (en presencia de reglas de superselección o un grupo de indicadores, por ejemplo). En ese caso, la prueba anterior no se sostiene. Sin embargo, el resultado puede ser cierto en cualquier caso dependiendo de las hipótesis adicionales que uno asuma.

¿Cómo jugaría un grupo calibre aquí? ¿Es porque dos proyectores equivalentes de calibre producirían el mismo resultado para cualquier observable? ¿Y cómo se salvaguardaría aquí la unitaridad?

parker · Answer 2

Sí, la evolución temporal de Lindbladian no unitaria de un sistema cuántico abierto se puede formular en la imagen de Heisenberg: https://en.wikipedia.org/wiki/Lindbladian#Heisenberg_picture .

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roger vadim

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Valter Moretti

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parker

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