¿Podemos dar sentido a un hamiltoniano a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa?

Si tengo un hamiltoniano dado por

H = a † a † + a a
dónde, [ a , a † ] = 1 , ¿Puedo darle sentido generalizando la noción de vacío?

Si no, ¿qué tipo de problemas me encontraría? ¿Ha habido algún caso en el que se hayan considerado tales hamiltonianos?

Para ser claros, ¿estás preguntando sobre este hamiltoniano solo o como parte de un hamiltoniano más grande con otros términos?
En realidad mi hamiltoniano es H = ∑ i , j j i , j a i † a j † + h . C . donde J_{i,j} es una constante simétrica.
... sin otros términos en, por ejemplo a † a ¿en absoluto? Eso sería bastante sorprendente e indicativo de problemas profundos con la teoría, como en la respuesta de knzhou. Sin embargo, si esos términos surgieron de un modelo físico realista, también habrán venido con términos cuadráticos acotados (es decir, a † a y similares) que alejarán al hamiltoniano del precipicio.
Bueno, estaba tratando de estudiar un modelo inspirado en SYK y Berry-Keating dado por H = ∑ i < j j i j ( X i pag j + pag j X i ) , al presentar operadores de escalera obtendré tales términos. Pero creo que debería activar una interacción que me daría una H 0 = a i † a j tipo de término. Qué opinas ?
Un X pag hamiltoniano es tan ilimitado por debajo como un pag 2 − X 2 uno (simplemente gire 45 ° en el espacio de fase), y es igualmente no físico. Si desea postular activamente hamiltonianos no físicos, entonces sabe lo que sucederá.

Respuestas (3)

No, el estado fundamental no está bien definido porque la energía es ilimitada por debajo. Para ver esto, vuelva a las variables X y pag usando a ∼ X + i pag encontrar

H ∼ pag 2 − X 2 .
Este es el hamiltoniano para una partícula en un potencial que simplemente la empuja más lejos del origen, por lo que puede hacer que la energía sea tan negativa como desee, y no hay un estado fundamental sobre el que expandirse. Alternativamente, si volteas las señales y obtienes H ∼ X 2 − pag 2 , obtienes una partícula de masa negativa, y nuevamente puedes obtener energía arbitrariamente negativa haciéndola más y más rápida.

Este problema no se puede solucionar aplicando una transformación de Bogoliubov. Estas transformaciones diagonalizan hamiltonianos de la forma

H = a † a + α ( a a + a † a † ) .
Sin embargo, para un tamaño suficientemente grande | α | , la transformación de Bogoliubov no existe, y ciertamente no existe aquí, donde α es infinito. Esta falla corresponde directamente al hecho de que no existe un estado fundamental, por lo que no puede definir un nuevo estado fundamental | Ω ⟩ y excitaciones al respecto.

... es decir, los hamiltonianos de esa forma están perfectamente bien, siempre que estén acompañados de un término normal adecuadamente fuerte, por ejemplo, de la forma ω a † a .

Este hamiltoniano es típico de los procesos de conversión descendente paramétricos, donde un campo fuerte (generalmente un estado coherente parametrizado por α ) interactúa con algún medio para producir dos fotones a † a † . Los hamiltonianos tienen la forma un poco más general

H ∼ α ∗ a ^ a ^ + α a ^ † a ^ † .
En su caso específico, los fotones serían degenerados (frecuencias idénticas). Véase la ecuación (23.12) de estas conferencias como ejemplo. Esto está cubierto en muchos libros de texto de óptica cuántica.

Este hamiltoniano se usa para generar estados comprimidos, según la ecuación (17) de este documento (se puede ajustar la fase entre los términos para ser − 1 si es necesario).

Finalmente, tenga en cuenta que los operadores

k + = 1 2 a ^ † a † , k − = 1 2 a ^ a ^ , k 0 = 1 2 ( a ^ † a ^ + a ^ a ^ † )
abarcar el álgebra de mentira s tu ( 1 , 1 ) entonces su hamiltoniano es básicamente el "impulso" k X . No recuerdo los estados propios de k X como discreto, pero Google no pudo encontrar un enlace útil y podría estar equivocado.

la acción de H ∼ k X (o su exponencial si necesita una evolución en el tiempo) está perfectamente bien definido en los estados del oscilador armónico y se puede expresar en términos de S tu ( 1 , 1 ) funciones de grupo, dadas por Ui este documento

Sin embargo, es importante tener en cuenta que, aplicado a SPDC, ese hamiltoniano es una aproximación, donde se ha considerado que el láser de bombeo de fondo está en el límite clásico de un estado coherente intenso.
@EmilioPisanty ¡Claro! Si incluye el agotamiento de la bomba, el hamiltoniano es cúbico en los operadores y está en el arroyo proverbial sin remo.

No creo que tengas una noción adecuada de la energía del estado fundamental. Por lo general, preferimos algo como a † a porque podemos tener una noción formal de ⟨ 0 | a † a | 0 ⟩ . Entonces, incluso si cambia su definición de lo que hacen los operadores de creación y aniquilación para | 0 ⟩ , no deberías sacar nada nuevo de la física. Sin embargo, si esto surge en alguna parte de la física, sería interesante.

¿Podemos dar sentido a un hamiltoniano a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa?
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