Operador antiunitario y hamiltoniano

Un operador unitario es un operador sobreyectivo lineal$U : {\cal H} \to {\cal H}$que preserva la norma. es equivalente a$U^*=U^{-1}$, a saber$UU^*=U^*U=I$, dónde$U^*$en adelante denota el adjunto de$U$.

Un operador anti unitario es un operador sobreyectivo anti lineal$U : H \to H$que preserva la norma. es equivalente a$U$biyectiva tal que

$$\langle U\psi|\phi\rangle = \overline{\langle \psi| U\phi\rangle}\:,\quad \forall \psi, \phi \in {\cal H}\:.$$ Supongamos ahora que, en cualquiera de los casos, para todos$t\in \mathbb{R}$ $$U e^{-itH} = e^{-itH}U\:.$$ Al aplicar$U^{-1}$a la derecha, obtenemos la condición equivalente $$Ue^{-itH} U^{-1}= e^{-itH}\:.\tag{1}$$ Del cálculo espectral u otros procedimientos más elementales, por ejemplo, expandir el exponencial como una serie si$H$está acotado y prestando atención a$U i H = -iUH$en vista de si la antilinealidad de$U$si es el caso, (1) implica $$e^{\mp itUHU^{-1}} = e^{-itH}\:.$$ Cálculo de la derivada en$t=0$(teorema de Stone) de ambos lados (en el dominio denso relevante de$H$que resulta ser invariante bajo$U^{-1}$, forman directamente la parte de unicidad del teorema de Stone): $$\pm UHU^{-1} = H\:,$$ eso es $$UHU^{-1} = \pm H\:,\tag{2}$$ donde esta el letrero$-$se reserva al caso antiunitario. En el caso de un operador unitario, también hemos encontrado que $$UHU^{*} = H$$ porque$U^*=U^{-1}$. En caso de antiunitario$U$, con una definición adecuada ($\dagger$) de operador adjunto para operadores antilineales, podemos reescribir (2) de manera equivalente como $$UHU^{*} = -H\:.$$

Sin embargo, la definición de adjunto de un operador antiunitario suele ser delicada y, según mi experiencia personal, es una fuente de errores. Tratando con simetrías es mucho mejor usar$U^{-1}$en ambos casos en lugar de$U^*$.

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$(\dagger)$ $\langle \psi|A \phi\rangle = \overline{\langle A^*\psi| \phi\rangle}$para todos$\psi,\phi\in {\cal H}$asumiendo$A$definido en todas partes y antilineal.

Hay un par de puntos confusos (¿o incluso erróneos?) en la publicación. Primero, supongo$U^*$medio$U^\dagger$, el adjunto de$U$. Una simetría unitaria significa$UHU^\dagger=H$.

Un operador antiunitario es ante todo un operador antilineal en lugar de uno lineal. Si$U$es simetría antiunitaria, entonces uno todavía tiene$UHU^\dagger=H$, no debe haber un signo menos adicional. Sin embargo, la definición de adjunto para un operador antilineal es diferente de la de un operador lineal.

Editar: la otra respuesta es correcta. Por lo general, para una simetría de inversión de tiempo (que es la forma más común en que se obtiene una simetría antiunitaria) también tomamos$t$a$-t$entonces$UHU^\dagger=H$. Pero si$U$es simplemente antiunitario sin$t$ir a$-t$, entonces porque$Ui=-iU$tenemos el signo menos adicional.