Logaritmo de Operadores en Mecánica Cuántica

Question

Logaritmo de Operadores en Mecánica Cuántica

Física
operadores
unitaridad
hamiltoniano
evolución del tiempo
mecánica cuántica

o cedro

En un álgebra de operadores $\mathcal{A}$ se puede considerar un operador autoadjunto (es decir, real) $H$ y tenga en cuenta que

tu = {mi}^{i H}

$U=e^{iH}$ existe y es unitaria. Una pregunta matemática será si cualquier operador unitario

U

$U$ es de esta forma. Incluso existen ejemplos en los que

X, Y

$X,Y$ son autoadjuntos y

X Y \neq Y X

$XY\neq YX$ y

{mi}^{i X} {mi}^{i Y} \neq {mi}^{i (X + Y)} .

$e^{iX}e^{iY}\neq e^{i(X+Y)}.$ Me gustaría saber qué información se puede deducir para

U

$U$ sabiendo que existe un logaritmo

H = \frac{1}{i} registro tu,

$H=\frac{1}{i}\log U,$ y cuáles son las aplicaciones concretas en QM para esto.

infinitocero

¿Puedes dar un ejemplo donde

e^{i X} e^{i Y} \neq e^{i (X + Y)}

$e^{iX} e^{i Y} \neq e^{i(X+Y)}$ ? Soy curioso.

ZeroTheHero

@infinitezero

e^{i α L_{z}} e^{i β L_{y}}

$e^{i\alpha L_z}e^{i\beta L_y}$ ?

Vanguardia

@infinitezero Toda la teoría cuántica se basa en esa simple no igualdad. Los operadores no necesariamente tienen que viajar. Ver en.wikipedia.org/wiki/…

infinitocero

Eh sí, por supuesto, acabo de patear allí, supongo.

Respuestas (2)

Logaritmo de Operadores en Mecánica Cuántica

¿Puedes dar un ejemplo donde $e^{iX} e^{i Y} \neq e^{i(X+Y)}$ ? Soy curioso.
@infinitezero Toda la teoría cuántica se basa en esa simple no igualdad. Los operadores no necesariamente tienen que viajar. Ver en.wikipedia.org/wiki/…

yuggib · Answer 1

El teorema de Stone prueba lo siguiente. Considere un grupo de operadores unitarios $(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$ actuando sobre un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ (es decir, satisfactorio $U(t+s)=U(t)U(s)$ , en términos más matemáticos, esta es una representación unitaria del grupo abeliano $\mathbb{R}$ en $\mathscr{H}$ ). Si además dicho grupo es fuertemente continuo, es decir, es tal que para todo $\psi\in\mathscr{H}$

\underset{t \to 0}{límite} ‖ tu (t) ψ - ψ ‖_{H} = 0,

$\lim_{t\to 0} \, \lVert U(t)\psi-\psi\rVert_{\mathscr{H}}=0\; ,$ entonces existe un operador autoadjunto

H

$H$ definido en

D (H) \subseteq H

$D(H)\subseteq\mathscr{H}$ que genera la dinámica, es decir tal que para todos

ψ \in D (H)

$\psi\in D(H)$

\underset{t \to 0}{límite} ‖ \frac{1}{t} (tu (t) - 1) ψ + i H ψ ‖_{H} = 0,

$\lim_{t\to 0}\lVert \frac{1}{t}(U(t)-1)\psi+iH\psi\rVert_{\mathscr{H}}=0\; ,$ y para todos

ϕ \in H

$\phi\in \mathscr{H}$ ,

U (t) ϕ = e^{- i t H} ϕ

$U(t)\phi=e^{-itH}\phi$ donde el lado derecho está definido por el teorema espectral. También por el teorema espectral, en este caso está "justificado" escribir

H = i \ln U (1)

$H=i\ln U(1)$ .

El teorema anterior es el más utilizado en mecánica cuántica, ya que relaciona el hamiltoniano cuántico (el generador $H$ ) a la dinámica unitaria que genera (el grupo $U(t)$ ). Hay formas de tomar el "logaritmo" de un solo operador unitario (por ejemplo, por medio de una transformada de Cayley), sin embargo, esto no es muy relevante en física ya que los objetos importantes son representaciones unitarias de grupos de simetría en lugar de operadores unitarios per se .

Solo un comentario sobre el último párrafo, la transformada de Cayley solo funciona cuando el espectro de $U$ no es el círculo completo e incluso entonces puede producir un operador ilimitado. Sin embargo, todavía existen logaritmos en un álgebra de von Neumann arbitraria por el cálculo funcional de Borel. Sin embargo, no existen en general en C*-álgebras. Consulte math.stackexchange.com/questions/1578279/… Sin embargo, estoy de acuerdo en que esto es irrelevante para la física.

probablemente_alguien · Answer 2

La evolución temporal en mecánica cuántica* está representada por la acción de un operador unitario $U=e^{iHt}$ , dónde $H$ es el hamiltoniano del sistema en cuestión. Normalmente caracterizamos los sistemas cuánticos (no relativistas**) por su hamiltoniano; en principio, se podría determinar*** el hamiltoniano de un sistema dado un operador de evolución temporal $U$ tomando $\frac{1}{it}\log U$ . En la práctica, ir en esta dirección no suele ser práctico desde una perspectiva experimental, por lo que no se suele mencionar.

*En mecánica cuántica, la cuestión de qué objetos evolucionan en el tiempo es una cuestión de interpretación. En algunos casos es más fácil pensar en las funciones de onda como evolucionando en el tiempo (la "imagen de Schrödinger"), en otros casos es más sencillo pensar en los operadores como evolucionando en el tiempo (la "imagen de Heisenberg"), y en otros más casos es una mezcla de ambos que es más simple (la "imagen de interacción").

**El hamiltoniano no es invariante de Lorentz, por lo que no se ve a menudo en la mecánica cuántica relativista/QFT. El lagrangiano, por otro lado, sí lo es.

***El logaritmo no es necesariamente único, por lo que el hamiltoniano solo se puede "determinar" hasta el equivalente de una elección de corte de rama.

Logaritmo de Operadores en Mecánica Cuántica

o cedro

infinitocero

ZeroTheHero

Vanguardia

infinitocero

Respuestas (2)

yuggib

J_P

probablemente_alguien

¿Por qué la evolución temporal es unitaria? - La versión de la imagen de Heisenberg

Evolución temporal con un hamiltoniano dependiente del tiempo [cerrado]

¿Por qué el operador de evolución temporal es unitario?

Operador de evolución para hamiltoniano dependiente del tiempo

Operador antiunitario y hamiltoniano

Solución de la Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo para Operador Unitario

¿De dónde viene el iii en la ecuación de Schrödinger?

¿Por qué el hamiltoniano sigue la propiedad H∗ij=HjiHij∗=HjiH^*_{ij} = H_{ji} ?

Operador ordenante de tiempo y derivada con respecto al tiempo

¿Qué se entiende por evolución temporal unitaria?