¿Por qué dos estados cuánticos diferentes no pueden evolucionar hacia el mismo estado final?

¿Es cierto que dos estados diferentes no pueden evolucionar hacia el mismo estado final?

Eso depende exactamente de lo que quieras decir. Si consideramos el estado total de un sistema cerrado, dos estados diferentes nunca evolucionarán simultáneamente hacia el mismo estado en un momento posterior. Es posible que hayas aprendido que los estados cuánticos evolucionan con una transformación unitaria, es decir

$$\lvert \Psi(t) \rangle = U(t) \lvert \Psi(0) \rangle$$ donde$U(t)$es unitario, lo que significa que$U(t)^\dagger = U(t)^{-1}$. Siendo ese el caso, $$\begin{align} \langle \Phi(t)|\Psi(t) \rangle &= \langle U(t) \Phi(0) | U(t) \Psi(0) \rangle \\ \text{(definition of Heritian conjugate)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^\dagger U(t) | \Psi (0) \rangle \\ \text{(unitarity)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^{-1} U(t) | \Psi (0) \rangle \\ &= \langle \Phi(0) | \Psi (0) \rangle \, . \end{align}$$ Como puede ver, el producto interno entre dos estados no cambia a medida que pasa el tiempo. Dos estados que son iguales tienen un producto interno de 1, pero los estados que no son iguales tienen un producto interno distinto de 1. Por lo tanto, dos estados que inicialmente no son iguales no pueden volverse iguales más tarde bajo una evolución unitaria.

Por otro lado, si permitimos la medición, es posible que dos estados inicialmente diferentes terminen siendo iguales. Por ejemplo, si tenemos un sistema de dos niveles que comienza en el estado$(\lvert 0 \rangle + e^{i \phi} \lvert 1 \rangle)/\sqrt 2$por cualquier valor de$\phi$, podría colapsar a$\lvert 0 \rangle$después de una medición. Tenga en cuenta, sin embargo, que en este caso hay aleatoriedad, es decir, no podemos crear una situación en la que dos estados inicialmente diferentes evolucionen de manera determinista hacia el mismo estado final. Si pudieras hacer eso, estoy bastante seguro de que podrías controlar el futuro, comunicarte más rápido que la luz y destruir todo el universo.

¿Pueden alcanzar este estado en diferentes momentos?

Si seguro. Considere un sistema de dos niveles con hamiltoniano

$$H = \hbar \frac{\omega}{2} \sigma_x \, .$$ El propagador de este sistema es $$U(t) = \cos(\omega t / 2) \mathbb{I} - i \sin(\omega t / 2) \sigma_x = \left( \begin{array}{cc} \cos(\omega t / 2) && -i \sin(\omega t / 2) \\ -i \sin(\omega t / 2) && \cos(\omega t / 2) \end{array} \right)$$ donde$\mathbb{I}$significa la identidad. Si comenzamos con el estado$\lvert 0 \rangle$, entonces el estado en el momento$t$es $$U(t) \lvert 0 \rangle = \cos(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle - i \sin(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle$$ Del mismo modo, si hubiéramos comenzado con$i \lvert 1 \rangle$, obtendríamos $$U(t) i \lvert 1 \rangle = \sin(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle + i \cos(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle \, .$$ Ahora mira dos momentos en particular: $$U(t = \pi / 2 \omega) \lvert 0 \rangle = \cos(\pi / 4) \lvert 0 \rangle - i \sin(\pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle)$$ y $$U(t = 3 \pi / 2 \omega) i \lvert 1 \rangle = \sin(3\pi/4)\lvert 0 \rangle + i \cos(3 \pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle) \, .$$ Entonces podemos ver que dos estados inicialmente diferentes evolucionan al mismo estado, pero en tiempos diferentes.

Dejar$\Psi$y$\Phi$ser dos estados que evolucionan hacia el mismo estado después de algún tiempo$t$. Evolución del tiempo tras el tiempo$t$viene dada por un operador unitario$U(t)$. En particular, esto significa que$U(t)$es invertible, entonces tenemos$U(t)^{-1}U(t) = 1$. Ahora tenemos por supuesto que$U(t)\Psi = U(t)\Phi$. Multiplicando ambos lados de esta ecuación por$U(t)^{-1}$de la izquierda obtenemos$\Psi = \Phi$. Entonces, si dos estados evolucionan hacia el mismo estado después de un tiempo$t$, eran iguales al principio.

La evolución temporal tiene además la propiedad de que$U(t)U(s) = U(t+s)$. Dejar$t\neq 0$. Ahora supongamos que tenemos algún estado$\Phi$con la propiedad que$U(s)\Phi \neq \Phi$. Colocar$\Psi = U(s)\Phi$. entonces obtenemos

$$\begin{equation} U(t)\Psi = U(t)(U(s)\Phi) = U(t+s)\Phi. \end{equation}$$ Entonces tenemos que los estados$\Psi$y$\Phi$, (que son diferentes), evolucionan hacia el mismo estado$U(t+s)\Phi$, pero después de tiempos diferentes.

De hecho, esta es la única forma en que esto puede suceder. Es decir, si hay dos estados diferentes$\Phi \neq \Psi$tal que$U(t)\Phi = U(t')\Psi$, entonces existe un tiempo$s$tal que$\Psi = U(s) \Phi$. Tal vez encontrar una prueba para esta afirmación sea un buen ejercicio.

Excluyendo el colapso de la función de onda, las funciones de onda evolucionan de manera determinista, y este determinismo va en ambos sentidos en el tiempo. Así que si tomas$\Psi$y$\Phi$tal que hay algo$t_0$para cual$\Psi(t_0)=\Phi(t_0)$, entonces mientras evolucionen bajo la misma transformación, tienes$\Psi(t)=\Phi(t)$para todos$t$. Por lo tanto, no puede hacer que dos funciones de onda que son iguales en un momento evolucionen a funciones de onda diferentes en un momento diferente, ni que dos funciones de onda que sean diferentes en un momento evolucionen a la misma función de onda en otro momento.

Un estado puede evolucionar hacia lo que fue otro estado en otro momento, es decir$\Psi(t_1)=\Phi(t_2)$. Pero si evolucionan bajo una transformación constante en el tiempo, entonces si definimos$\Delta t= t_2-t_1$, después$\Psi(t)=\Phi(t+\Delta t)$para todos$t$; los dos estados son simplemente una versión desplazada en el tiempo el uno del otro.

$\def\ket#1{|#1\rangle}$Más simple. En cuanto a la primera pregunta: deja$\ket{a,0}$sea ​​un vector de estado tomado en el tiempo 0,$\ket{a,t}$el mismo estado evolucionó en el tiempo$t$.

Nota 1: se usa la imagen de Schrödinger, donde los estados evolucionan en el tiempo, los observables no.

Nota 2: estoy usando una notación ket bastante diferente. no escribo cosas como$\ket{\Psi(t)}$porque creo que esto es una mala interpretación de la notación de Dirac.

Tenemos

$$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{a,0}$$ donde$U(t)$es unitario. Supongamos ahora que otro$\ket{b,0}$existe, tal que también $$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{b,0}.$$ Después $$\ket{b,0} = U^{-1}(t)\,\ket{a,t} = U^{-1}(t)\,U(t)\,\ket{a,0} = \ket{a,0}.$$

Ahora para la segunda pregunta. estas preguntando si

$$\ket{a,t} = \ket{b,t'} \tag1$$ podría pasar, por$t'\ne t$. Ampliemos la ec. (1), usando$U$: $$U(t)\,\ket{a,0} = U(t')\,\ket{b,0}$$ $$\ket{b,0} = U^{-1}(t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(-t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(t-t')\,\ket{a,0}.$$ esta es la condicion$\ket{a,0}$y$\ket{b,0}$han de obedecer, para que$\ket{a,t}$y$\ket{b,t'}$igualarse.