¿Cómo es el hamiltoniano un operador hermitiano?

Mi libro sobre mecánica cuántica establece que el hamiltoniano, definido como

H = i ℏ ∂ ∂ t
es un operador hermitiano. Pero realmente no veo cómo tengo que interpretar esto. En primer lugar: ¿desde qué espacio está trabajando este operador? Están definiendo un espacio vectorial llamado "espacio de función de onda". F " que contiene todas las funciones cuadradas integrables que son diferenciables continuas e infinitas (y definidas en todas partes). Pero me parece que si el hamiltoniano actúa en este espacio, no es necesariamente cierto que la imagen de un vector aleatorio de F está de nuevo en F .

Pienso, de hecho, que hay algunos vectores de F de modo que el hamiltoniano de esos vectores no es un elemento de F (para que no sea un endomorfismo en F ). Y si el hamiltoniano tiene que ser hermitiano, tiene que ser un endomorfismo en algún espacio.

Si definimos en cambio el espacio vectorial V , que es el mismo espacio que F pero donde las funciones no tienen que ser integrables al cuadrado, el hamiltoniano será un endomorfismo (así que al principio pensé que esta era la solución). Pero ahora el producto interno de funciones

< F , gramo >= ∫ − ∞ ∞ d X   F ∗ gramo
que se definió bien en F porque la integral siempre existirá si F y gramo son funcion de F , ya no está correctamente definido.

Espero que alguien pueda aclarar cómo debo interpretar este operador (la misma pregunta se aplica de hecho a otros operadores).

Comentario a la pregunta (v1): La fórmula H = i ℏ ∂ ∂ t no es válido en general, y en particular, no es una definición, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.
Para una formulación matemáticamente rigurosa de QM, se necesita la noción de espacios de Hilbert amañados . Sin embargo, la mayoría de los físicos que usan QM como una herramienta para comprender la naturaleza generalmente no intentan ser demasiado rigurosos (yo mismo nunca he leído la página wiki a la que me referí :).

Respuestas (4)

La situación general es la siguiente. Hay un operador autoadjunto H : D ( H ) → H , con D ( H ) ⊂ H un subespacio lineal denso del espacio de Hilbert H . (Un caso elemental es H = L 2 ( R , d X ) , pero lo que sigue es válido en general para todo espacio complejo de Hilbert H asociado a un sistema físico cuántico.)

Resulta que D ( H ) = H si y solo si H está acotado (sucede, en particular, cuando H es de dimensión finita).

Físicamente hablando H está acotado si y sólo si los valores que alcanza el observable correspondiente (la energía del sistema) forman un conjunto acotado, por lo que difícilmente ocurre en casos físicos concretos. D ( H ) es casi siempre un subconjunto propio de H .

Si ψ ∈ H representa un estado (puro) del sistema, su evolución temporal viene dada por

(1) ψ t = mi − i t ℏ H ψ .
El exponencial se define a través del teorema espectral. El mapa R ∋ t ↦ mi − i t ℏ H ψ es siempre continua refiriéndose a la topología de H . Además, también es derivable si y sólo si ψ t ∈ D ( H ) (es equivalente a decir que ψ ∈ D ( H ) ). En este caso se prueba que (teorema de Stone)
d ψ t d t = − i 1 ℏ H mi − i t ℏ H ψ = − i ℏ H ψ t .
En otras palabras,
(2) i ℏ d ψ t d t = H ψ t .
debe quedar claro que d d t no es un operador en H , ya que actúa sobre las curvas R ∋ t ↦ ψ t en lugar de vectores.
d ψ t d t = límite s → 0 1 s ( ψ t + s − ψ t )
y el límite se calcula con respecto a la norma espacial de Hilbert. La identidad (2) se cumple si y solo si ψ ∈ D ( H ) y no en general.

ANEXO .

Identidades o incluso definiciones (!) como

(3) H = i ℏ d d t .
no tiene sentido. Un observable en QM, en primer lugar, es un operador (autoadjunto) en el espacio de Hilbert H de la teoría En otras palabras, es un mapa lineal. A asociando cualquier vector dado ψ ∈ H (o algún dominio adecuado) a otro vector A ψ . Si ψ es un solo vector dado de H - y no una curva t ↦ ψ t - el objeto formal
d d t ψ
no tiene ningún significado ya que no se puede calcular! Por lo tanto, preguntarse si o no H , "definido" por medio de (3), es hermitiano a su vez no tiene sentido, porque el RHS de (3) no es un operador en H .

La definición concreta de H se puede dar tan pronto como se conozca el sistema físico y aprovechando algunos principios físicos adicionales, como una supuesta correspondencia entre los observables clásicos y los cuánticos, o supuestos teóricos grupales sobre las simetrías del sistema.

Para los sistemas elementales no relativistas descritos en L 2 ( R 3 ) , el operador hamiltoniano tiene la forma de la extensión autoadjunta (con suerte única) del operador simétrico

H := − ℏ 2 2 metro Δ + V ( X → )
Esa es la definición de H .

No obstante, la ecuación de Schroedinger (2) siempre es válida, independientemente de las características específicas del sistema cuántico (incluso relativista), cuando ψ ∈ D ( H ) . Sin embargo, la evolución temporal siempre se describe mediante (1) independientemente de cualquier problema de dominio.

En resumen, ha obtenido la forma del hamiltoniano a partir de la ecuación 1, en lugar de al revés, que es más convencional. De cualquier manera, no está muy bien motivado físicamente.
No, no lo hice. No hay una forma explícita del hamiltoniano en mi respuesta. No existe una definición del hamiltoniano en absoluto. insisto en el hecho de que H = i d / d t es un sinsentido tanto en física como en matemáticas. Es simplemente una idea confusa. La forma explícita del hamiltoniano se obtiene agregando detalles al sistema físico específico que se está considerando. Por ejemplo, en QM no relativista, para una sola partícula en R 3 , H es la extensión autoadjunta (con suerte única) de − ℏ 2 2 metro Δ X → + V ( X → ) .

Es posible que pueda encontrar algunos ejemplos patológicos de por qué los operadores en la mecánica cuántica no son hermíticos, pero estos no son físicos. Esto es física, seguramente habrá algo de incompleto en las matemáticas. Puede que le interese leer esto para conocer algunos problemas matemáticos/sorpresas interesantes con la formulación matemática de la mecánica cuántica: http://lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/9907069v2.pdf

Si el hamiltoniano es hermitiano, la función propia hace una base del espacio de función integrable al cuadrado. Entonces, la acción de H sobre cualquier función permanece en el espacio de funciones integrables al cuadrado.

Como dijiste, la ecuación que proporcionas solo funciona en el "espacio de función de onda". Siempre que trabaje con funciones de onda, siempre puede descomponer el objeto sobre el que actúa su derivada como

∫ d ω 2 π F ~ ( ω ) mi i ω t
por lo que su derivada dibujará un factor de i ω de la exponencial. La forma general sigue siendo una superposición de ondas planas y por lo tanto todavía en F , y el operador i ℏ d d t es autoadjunto.

Me gustaría agregar que no me gustan especialmente tales argumentaciones, pero puedo ver por qué muchos autores y profesores las emplean primero antes de introducir la notación de Dirac, más abstracta pero más clara.
¿Estás seguro de que esto prueba que i h d d t es hermitiano? Sé que el hamiltoniano puede ser pseudo-hermitiano y H = i h d d t sigue siendo válida a partir de la ecuación de Schrödinger.
Lo siento, completamente equivocado. i d / d t no es un operador en el espacio de Hilbert del sistema. El operador hamiltoniano no es i ℏ ∂ / ∂ t .
¿Cómo es el hamiltoniano un operador hermitiano?
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