Sobre la medida de integración en la fórmula de completitud del estado coherente

Con respecto a la última fórmula de OP (4): recuerde que hay una cuña antisimétrica implícitamente escrita$\wedge$en la medida integral. Por lo tanto, el último signo de igualdad de OP debería leer

$$( \mathrm{d}x - i\mathrm{d}y )\wedge ( \mathrm{d}x + i\mathrm{d}y ) ~=~ 2i\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y. \tag{4'}$$ Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Esta derivación alternativa (sin álgebra de Grassman) utiliza la regla de transformación para integrales. Tenemos una integral sobre$\mathbb {R}^2$con la medida$dx\ dy$(No me importa$\pi$). Consideramos un cambio de variable$(x,y)\mapsto (z, z*):=(x+iy, x-iy)$Este es un difeomorfismo sobre su imagen. (Un subconjunto de$\mathbb {C}^2$visto como un espacio vectorial real 4d). El jacobiano es

$$J=\begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end {pmatrix}$$ . El "valor absoluto" (para la parte real y compleja individualmente) del determinante es $2i$, el factor que necesitamos.

Estoy aquí para explicar dónde está eso.$\pi$en la ecuación (2) proviene de:

$$\begin{aligned}\int\left(\phi^{*}\right)^{n}\phi^{m}e^{-|\phi|^{2}}d\text{Re}\phi d\text{Im}\phi & =\int_{0}^{\infty}|\phi|^{n+m+1}e^{-|\phi|^{2}}d|\phi|\int_{0}^{2\pi}e^{i(m-n)\theta}d\theta\\ & =\pi n!\delta_{nm} \end{aligned}$$ $$\frac{1}{\pi}\int|\phi\rangle\langle\phi|d\text{Re}\phi d\text{Im}\phi=\sum_{n}|n\rangle\langle n|=1$$ Entonces, en realidad, el estado coherente es demasiado completo y$\pi$aquí está ayudando a un estado coherente a disfrazarse como uno completo. Para obtener más información, puede consultar la Sec2.4 de Quantum optics de Scully y Zubairy.
Por cierto, como lo ilustran Adomas Baliuka y Qmechanic♦, la relación de los coeficientes en las ecuaciones (1) y (2) es clara. Ambos llegan al mismo extremo por medios diferentes porque la aparición del jacobiano es una propiedad natural del producto cuña.