Valor principal de 1/x1/x1/x y pocas preguntas sobre análisis complejo en el libro de texto QFT de Peskin

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Valor principal de 1/x1/x1/x y pocas preguntas sobre análisis complejo en el libro de texto QFT de Peskin

Física
notación
integración
números complejos
física-matemática
distribuciones-dirac-delta

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Cuando aprendo QFT, me molestan muchos problemas en el análisis complejo.

$\frac{1}{X - X_{0} + i ϵ} = PAG \frac{1}{X - X_{0}} - i π d (X - X_{0})$ $\frac{1}{x-x_0+i\epsilon}=P\frac{1}{x-x_0}-i\pi\delta(x-x_0)$

no puedo entender por qué $1/x$ puede tener un valor principal porque no es una función multivaluada. Estoy muy confundido. Y cuando aprendí el análisis complejo, no he visto esta fórmula , ¿alguien puede decirme dónde puedo encontrar la prueba de esta fórmula?

$\frac{d}{d X} en (X + i ϵ) = PAG \frac{1}{X} - i π d (X)$ $\frac{d}{dx}\ln(x+i\epsilon)=P\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$

Y también encuentro esta fórmula. Aparentemente $f(x)$ tiene una rama cortada, entonces

F (z) = \frac{1}{π} \int_{Z}^{\infty} d z^{'} \frac{I metro F (z^{'})}{z^{'} - z}

$f(z)=\frac{1}{\pi}\int_Z^{\infty}dz^{\prime}\frac{{\rm Im} f(z^{\prime})}{z^{\prime}-z}$ ¿Alguien puede decir todo el teorema y su prueba, y lo que quiere expresar? ingrese la descripción de la imagen aquí

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Ahora estoy muy confundido con estas fórmulas, porque no las he leído en ningún libro de análisis complejo y nunca me han enseñado cómo manejar una integral con corte de rama. Alguien me puede dar la prueba completa y donde puedo consultar?

David H.

Desafortunadamente, hay dos significados completamente independientes del término "valor principal". El tipo al que se hace referencia aquí es el valor principal de Cauchy , que asigna valores a integrales impropias que de otro modo no estarían definidas. Esto no tiene nada que ver con el valor principal que tenía en mente, que es para seleccionar ramas de un solo valor de funciones de varios valores. Lo sé, es estúpido. Uno pensaría que alguien ya habría solucionado todas estas extrañas ambigüedades, pero, por desgracia, las matemáticas no son francesas.

346699

@DavidH ¡Muchas gracias! Luego la última pregunta, ¿puedes darme algunas pistas?

Funzies

@ user34669 Creo que la última expresión se llama relación "Kramers-Kronig", es una forma de expresar una función compleja en su parte real o imaginaria. Entonces, ya sea con la parte real o imaginaria, puedes reconstruir la función completa. Para ver una prueba, consulte en.wikipedia.org/wiki/Kramers%E2%80%93Kronig_relations

Arnold Neumaier

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Respuestas (1)

Valor principal de 1/x1/x1/x y pocas preguntas sobre análisis complejo en el libro de texto QFT de Peskin

Desafortunadamente, hay dos significados completamente independientes del término "valor principal". El tipo al que se hace referencia aquí es el valor principal de Cauchy , que asigna valores a integrales impropias que de otro modo no estarían definidas. Esto no tiene nada que ver con el valor principal que tenía en mente, que es para seleccionar ramas de un solo valor de funciones de varios valores. Lo sé, es estúpido. Uno pensaría que alguien ya habría solucionado todas estas extrañas ambigüedades, pero, por desgracia, las matemáticas no son francesas.
@DavidH ¡Muchas gracias! Luego la última pregunta, ¿puedes darme algunas pistas?
@ user34669 Creo que la última expresión se llama relación "Kramers-Kronig", es una forma de expresar una función compleja en su parte real o imaginaria. Entonces, ya sea con la parte real o imaginaria, puedes reconstruir la función completa. Para ver una prueba, consulte en.wikipedia.org/wiki/Kramers%E2%80%93Kronig_relations

basureroDoofus · Answer 1

La primera ecuación,

\frac{1}{X - X_{0} + i ϵ} = PAG \frac{1}{X - X_{0}} - i π d (X - X_{0})

$\frac{1}{x-x_0+i\epsilon}=P\frac{1}{x-x_0}-i\pi\delta(x-x_0)$ es en realidad una notación abreviada para su forma completa correcta, que es

\underset{ϵ \to 0^{+}}{límite} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{F (X)}{X - X_{0} + i ϵ} d X = PAG \int_{- \infty}^{\infty} \frac{F (X)}{X - X_{0}} d X - i π F (X_{0})

$\underset{\epsilon\rightarrow0^+}{\lim}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{x-x_0+i\epsilon}\,dx=P\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{x-x_0}\,dx-i\pi f(x_0)$ Esto es válido para funciones que son analíticas en el semiplano superior y se desvanecen lo suficientemente rápido como para que la integral pueda construirse mediante un contorno semicircular infinito.

Esto se puede probar construyendo un contorno semicircular en el semiplano superior del radio $\rho\rightarrow\infty$ , con una sangría colocada en $x_0$ , haciendo uso del teorema del residuo adaptado a los arcos de medio punto. Ver Saff, Snider Fundamentals of Complex Analysis, Sección 8.5 Pregunta 8.

La tercera es la relación Kramers-Kronig, como mencionó Funzies.

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David H.

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Funzies

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basureroDoofus

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