¿Por qué los vectores unitarios circulares a menudo se definen como e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}

Question

¿Por qué los vectores unitarios circulares a menudo se definen como e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}

Física
notación
convenciones
armónicos esféricos

Emilio Pisanty

Cuando se trata de polarizaciones circulares, armónicos esféricos y, en general, con cualquier cantidad invariante rotacionalmente con valores vectoriales, a menudo es un requisito definir vectores unitarios con valores complejos de la forma $(1,i,0)$ y $(1,-i,0)$ , que tienen la agradable propiedad de que, bajo una rotación, se repiten en una fase compleja.

Sin embargo, muchos recursos, especialmente los que tienen una postura seria y sistemática, usan una convención de signos diferente y definen

{\hat{mi}}_{\pm} = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{mi}}_{X} \pm i {\hat{mi}}_{y}),

$\newcommand{\ue}[1]{\hat{\mathbf{e}}_{#1}} \ue\pm= \mp \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x \pm i \ue y\big),$ con un registro global al frente. Esto es relativamente contrario a la intuición para mí, pero tiene bastante uso [ver 1 , 2 , 3 , 4 para ver ejemplos], así que imagino que debe haber alguna razón para esta convención.

¿De qué manera esta convención de signos simplifica las cosas? Este no es el tipo de cosa que harías al azar, simplemente introduciendo una complejidad gratuita en una fórmula fundamental que debería ser lo más simple posible, así que imagino que está ahí para reducir la complejidad en otros lugares. ¿Qué es exactamente ese 'otro lugar'?

^{En beneficio de la cordura en este hilo, \ue{x}se ha definido para producir $\ue{x}$ .}

Emilio Pisanty

Relacionado, creo: ¿ Por qué necesitamos la fase de Condon-Shortley en armónicos esféricos?

Respuestas (2)

¿Por qué los vectores unitarios circulares a menudo se definen como e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}

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ZeroTheHero · Answer 1

Una respuesta, que conecta la antisimetría del producto de la cuña y el conmutador (de mentira), es a través del teorema de Wigner-Eckart. Dejar

{\hat{T}}_{10} = {\hat{L}}_{z} {\hat{T}}_{1 \pm 1} = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{L}}_{X} \pm i {\hat{L}}_{y}) = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} {\hat{L}}_{\pm}

$\hat T_{10}=\hat L_z\, \qquad \hat T_{1\pm 1}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat L_x\pm i \hat L_y\right)=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}\hat L_{\pm}$ Entonces los elementos de la matriz

⟨ j {metro}^{'} | {\hat{T}}_{1 m} | j metro ⟩ = ⟨ j metro; 1 m | j {metro}^{'} ⟩ \sqrt{j (j + 1)}

$\langle jm'\vert \hat T_{1\mu}\vert jm\rangle=\langle jm;1\mu\vert jm'\rangle \sqrt{j(j+1)}$ dónde

⟨ j m; 1 μ | j m^{'} ⟩

$\langle jm;1\mu\vert jm'\rangle$ es un coeficiente de Clebsch-Gordan. Básicamente, el

-

$-$ se requiere el signo para definir

{\hat{T}}_{11}

$\hat T_{11}$ como el correcto

+ 1

$+1$ componente del operador tensorial.

La conexión con el producto de cuña es tal que

[{\hat{T}}_{1 k}, {\hat{T}}_{1 metro}] \leftrightarrow {\hat{mi}}_{k} \land {\hat{mi}}_{metro}

$\newcommand{\ue}[1]{\hat{\mathbf{e}}_{#1}} [\hat T_{1k},\hat T_{1m}]\leftrightarrow \ue{k}\wedge \ue{m}$ y de hecho en algunos libros de texto el conmutador

[{\hat{T}}_{1 k}, {\hat{T}}_{1 m}]

$[\hat T_{1k},\hat T_{1m}]$ se escribe como

{\hat{T}}_{1 k} \land {\hat{T}}_{1 m}

$\hat T_{1k}\wedge \hat T_{1m}$

Massimo Ortolano · Answer 2

$\newcommand{\ue}[1]{\hat{\mathbf{e}}_{#1}}$ si defines $\ue\pm$ como

{\hat{mi}}_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{mi}}_{X} \pm i {\hat{mi}}_{y})

$\ue\pm= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x \pm \mathrm{i} \ue y\big)$

usted obtiene

{\hat{mi}}_{+} \land {\hat{mi}}_{-} = - i {\hat{mi}}_{z} .

$\ue+\wedge \ue- = -\mathrm{i}\ue z.$

Si, en cambio, se define

{\hat{mi}}_{+} = - \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{mi}}_{X} + i {\hat{mi}}_{y})

$\ue+ = -\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x + \mathrm{i} \ue y\big)$

y

{\hat{mi}}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{mi}}_{X} - i {\hat{mi}}_{y}),

$\ue- = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ue x - \mathrm{i} \ue y\big),$

el producto cruz se convierte en

{\hat{mi}}_{+} \land {\hat{mi}}_{-} = i {\hat{mi}}_{z} .

$\ue+\wedge \ue- = \mathrm{i}\ue z.$

Por lo tanto, en el primer caso, $(\ue+,\ue-,\mathrm{i}{\ue z})$ tiene la misma orientación de $(\ue x,\ue y, \ue z)$ , mientras que en este último la orientación se conserva por $(\ue -,\ue +, \mathrm{i}\ue z)$ .

¿Hay alguna razón para preferir una orientación con respecto a la otra? Yo diría que no, probablemente sea solo una cuestión de tradición.

¿Por qué los vectores unitarios circulares a menudo se definen como e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}

Emilio Pisanty

Emilio Pisanty

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ZeroTheHero

Massimo Ortolano

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