¿Qué significa que el diferencial de una integral se eleve a una potencia, como por ejemplo, d3rd3rd^3r o d3ud3ud^3u?

Question

¿Qué significa que el diferencial de una integral se eleve a una potencia, como por ejemplo, d3rd3rd^3r o d3ud3ud^3u?

Física
notación
convenciones
integración
espacio-tiempo-dimensiones

precio terry

Estaba leyendo el libro de Zwelfel sobre física de reactores y vi la siguiente notación:

Observe que la diferencial de la integral se eleva a la tercera potencia.

¿Cuál es el significado de esta notación? ¿Están tratando de implicar una integral de volumen aquí? ¿Cómo convertiría esto en una suma de Riemann?

garyp

d^{3} u = d v_{x} d v_{y} d v_{z}

$\mathrm{d}^3u = \mathrm{d}v_x\, \mathrm{d}v_y\, \mathrm{d}v_z$ . Si tiene problemas con esa notación, es posible que esté saltando al fondo en lugar de caminar desde la costa. A continuación tendrá que enfrentarse a

d^{3} u = u^{2} d u d Ω

$\mathrm{d}^3u = u^2\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\Omega$ . ¿Tienes problemas con ese?

usuario108787

@garyp bonita metáfora

precio terry

En realidad, lo hago. Supongo que esto es algún tipo de cambio en el sistema de coordenadas o algo así. ¿Tienes alguna idea?

garyp

La última expresión es el elemento de volumen en coordenadas esféricas, mientras que la primera está en coordenadas cartesianas.

d Ω

$\mathrm{d}\Omega$ es un "volumen" diferencial de ángulo sólido:

d Ω = \sin θ d θ d ϕ

$\mathrm{d}\Omega = \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ . Espero que sea suficiente para enviarlo a un libro o curso en línea sobre cálculo y geometría analítica. Realmente tienes que retroceder.

DanielSank

Es un abuso de notación. El significado es como se explica en las respuestas a continuación, pero tenga en cuenta que todo el

d x

$dx$ la notación está bastante mal explicada/justificada. Pregúntese si realmente hay alguna diferencia entre

\int_{0}^{π} \sin (x) d x

$\int_0^\pi \sin(x) \, dx$ y

\int_{0}^{π} \sin (x)

$\int_0^\pi \sin(x)$ .

JG

@DanielSank El

d x

$dx$ es crucial porque si, por ejemplo,

d (x^{2}) = 2 x d x

$d(x^2)=2xdx$ en su lugar, sería una integral completamente diferente. Ya no puedes omitir un

d x

$dx$ en una integral que en una derivada.

Respuestas (2)

¿Qué significa que el diferencial de una integral se eleve a una potencia, como por ejemplo, d3rd3rd^3r o d3ud3ud^3u?

$\mathrm{d}^3u = \mathrm{d}v_x\, \mathrm{d}v_y\, \mathrm{d}v_z$ . Si tiene problemas con esa notación, es posible que esté saltando al fondo en lugar de caminar desde la costa. A continuación tendrá que enfrentarse a $\mathrm{d}^3u = u^2\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\Omega$ . ¿Tienes problemas con ese?
En realidad, lo hago. Supongo que esto es algún tipo de cambio en el sistema de coordenadas o algo así. ¿Tienes alguna idea?
La última expresión es el elemento de volumen en coordenadas esféricas, mientras que la primera está en coordenadas cartesianas. $\mathrm{d}\Omega$ es un "volumen" diferencial de ángulo sólido: $\mathrm{d}\Omega = \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ . Espero que sea suficiente para enviarlo a un libro o curso en línea sobre cálculo y geometría analítica. Realmente tienes que retroceder.
Es un abuso de notación. El significado es como se explica en las respuestas a continuación, pero tenga en cuenta que todo el $dx$ la notación está bastante mal explicada/justificada. Pregúntese si realmente hay alguna diferencia entre $\int_0^\pi \sin(x) \, dx$ y $\int_0^\pi \sin(x)$ .
@DanielSank El $dx$ es crucial porque si, por ejemplo, $d(x^2)=2xdx$ en su lugar, sería una integral completamente diferente. Ya no puedes omitir un $dx$ en una integral que en una derivada.

Emilio Pisanty · Answer 1

la notación $\mathrm d^3r$ , a menudo también $\mathrm d^3\mathbf r$ , generalmente se entiende que indica una integral de volumen tridimensional, como usted supone correctamente. Si $\mathbf r=(x,y,z)$ entonces también podrías denotar que como $\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ , o como $\mathrm dV$ si está claro cuál es la variable de integración.

la notación $\mathrm d^3\mathbf r$ es más compacto y hace un mejor trabajo al especificar exactamente cuál es la variable de integración y qué tipo de integral se está tomando; esto es muy útil en lugares donde la página ya está lo suficientemente ocupada, como, por ejemplo,

donde especificar directamente los componentes de $\vec k$ (i) haría la fórmula mucho, mucho más larga, y (ii) en realidad haría que el texto fuera menos legible.

Además de esto, es muy común que los autores simplemente suelten el superíndice y usen notación como $\mathrm d\mathbf r$ cuando está claro que sólo puede ser una integral de volumen ( ejemplo ), e incluso mezclar ambas notaciones, introduciendo superíndices cuando se requiera para indicar la dimensionalidad de la integral ( ejemplo ).

no veo porque el $\textbf{r}$ debe estar en negrita (sé que muchos libros de texto lo son). Después de todo, $d\,\textrm{(whatever)}$ es una forma abreviada (en realidad de mano larga) de una medida $m$ , que generalmente es un número.
@Gennaro Es cuestión de gustos. No digo que deba estar en negrita, digo que puede estar en negrita, y el OP debe estar preparado para ambas notaciones. (Personalmente, encuentro que la negrita tiene sentido si la variable normalmente está en negrita, porque el diferencial es una abreviatura para marcar la variable de integración (y no indica realmente la medida; si eso está en duda, entonces hace cosas como $\mathrm d\mu(\mathbf r)$ ), por lo que tiene sentido simplemente poner la variable tal cual, y porque la versión sin negrita suele ser una cantidad diferente. Pero, de nuevo, es exclusivamente una cuestión de gustos).
En caso de que alguien tenga curiosidad, ese ejemplo es la ecuación. I.4.4 de A. Zee's Quantum Field Theory in a Nutshell.

N0va · Answer 2

Normalmente entendería una Integral $\int d^3\mathbf{r}$ como una integral de volumen sobre todo el espacio $\mathbb{R}_3$ , donde entendería la r negrita allí como $\vec{r}$ . yo también he visto $\int d^3 \vec{r}$ lo que significa la misma integral de volumen sobre $\mathbb{R}_3$ . O incluso $\int d~ \vec{r}$ con el superíndice caído (este no me gusta pero lo he visto en la literatura). Todas las expresiones anteriores son independientes de las coordenadas y $\vec{r}$ o negrita $\mathbf{r}$ denote el vector de ubicación general.

Un diferencial $dr$ sin una flecha vectorial o sin el superíndice o sin negrita se entiende generalmente (al menos en física) como un diferencial relacionado con el radio en coordenadas esféricas. Entonces, la integral de volumen se escribe comúnmente como:

$\int d^3 \vec{r} \equiv \int d~ \vec{r} \equiv \int d^3\mathbf{r} = \int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }dxdydz=\int_{0 }^{2\pi }\int_{0 }^{\pi }\int_{0 }^{\infty }r^2 \sin(\theta)d\phi d\theta dr$ .

Donde las dos últimas igualdades están en coordenadas cartesianas y esféricas respectivamente.

Creo que el valor de la respuesta anterior es que si está leyendo tales cosas, esté preparado para cualquier notación que pueda describir el volumen, la superficie, la línea o cualquier dimensión de las integrales. Muchas formas de decir lo mismo.

¿Qué significa que el diferencial de una integral se eleve a una potencia, como por ejemplo, d3rd3rd^3r o d3ud3ud^3u?

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gentil

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N0va

K7PEH

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