Espacios de productos internos

Estoy tratando de reconciliar la definición de espacios de productos internos que encontré en Matemáticas con la que encontré recientemente en Física. En particular, si$(,)$denota un producto interno en el espacio vectorial$V$encima$F$:

1. $(u + v, w) = (u, w) + (v, w) \text{ for all } u, v, w \in V$,

2. $(\alpha v, w) = \alpha(v, w) \text{ for all } v, w \in V$y$\alpha \in F$,

3. $(v, w) = (w, v)^* \text{ for all } v, w \in V$, (* denota conjugación compleja)

fueron algunas de las propiedades enumeradas en mi curso de matemáticas.

En física, sin embargo, se decía que el producto interno era lineal en el segundo argumento y$(v,\sum(\lambda_i w_i)) = \sum(\lambda_i (v,w_i))$dónde$v$y$w_i$son kets en el espacio de Hilbert y$\lambda_i$son números complejos.

Para mí, estas propiedades de un Producto Interior no son compatibles. Si la primera definición de producto interno es correcta, entonces creo$(v,\sum(\lambda_i w_i)) = \sum((\lambda_i)^* (v,w_i))$dónde$^*$denota conjugación compleja.