¿Por qué a los físicos les gusta poner la unidad imaginaria i=−1−−−√i=−1\:i=\sqrt{-1}\: en todas partes?

Hay muchos desacuerdos de convención entre matemáticos y físicos, pero un tema recurrente parece ser que los físicos tienden a insertar factores innecesarios de i = − 1 en definiciones.

Entiendo que esto es solo una convención, pero tengo curiosidad acerca de por qué esto parece tan generalizado. ¿Alguien sabe acerca de la(s) razón(es) "etimológica(s)" de los físicos? i -convenciones pesadas?

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Constantes de estructura de álgebra de mentira (Ref.) [ L a , L b ] = F a b C L C [ L a , L b ] = i F a b C L C
Transformaciones de grupos de mentiras en términos de generadores (Ref.) R z ( θ ) = Exp ⁡ ( θ j z ) R z ( θ ) = Exp ⁡ ( − i θ j z )
Derivada covariante con C -conexión valorada 1-formulario ∇ V = d V + A V ∇ m V a = ∂ m V a − i q A a b m V b
Curvatura de la conexión o fuerza de campo del calibre (Ref., §7.4) F = d A + A ∧ A F m v = ∂ m A v − ∂ v A m ± i q [ A m , A v ]

Tengo una vaga conjetura: los físicos leen y escriben mi i ω t mucho, y una exponencial con un i en ella grita "rotación". Avance rápido para describir S O ( norte ) rotaciones en términos de generadores de matrices, y una expresión como mi i θ j z simplemente "se siente más familiar" tanto que un extra i se saca de la definición de j z . ¿Se puede respaldar esa conjetura? Sin embargo, no estoy seguro acerca de la tercera y cuarta fila.

En la mayoría de los casos, como mi − i θ j z - esto hace que los operadores sean herméticos.
Votó para reabrir. Como lo demuestran las respuestas existentes, hay consideraciones teóricas que intervienen en esto. Es cierto que uno podría reformular todo para lograr consistencia, pero no vamos a hacer eso como una cuestión práctica.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/321230/2451 y enlaces allí.

Respuestas (2)

Lo que dices es parte de eso. Pero creo que una razón más importante por la que tenemos la i Lo explícito es porque nos gusta describir las cosas con operadores hermitianos. Tomando el ejemplo de S tu ( 2 ) , el álgebra de Lie en notación física es

[ L i , L j ] = i ε i j k L k

L 3 en física es un observable, que describe el giro de una partícula en el z dirección, que toma valores enteros o semienteros. Como se trata de un observable, preferimos que sea un número real. Por eso queremos L 3 ser hermitiano.

De manera más general, consideramos que los generadores de un grupo de simetría son hermitianos (asumiendo que estamos tratando con una representación unitaria), porque describen las "cargas" observables, que queremos que sean reales .

la razon de la i 's en la derivada covariante y la curvatura 2 -la forma es similar. Queremos que la conexión sea hermítica, ya que describe un campo observable que impregna el espacio. Aunque en tratamientos más avanzados a veces usamos la notación matemática en estos casos.

En resumen, los físicos usan esta notación particular porque estas cantidades representan algo físico, mientras que los matemáticos usan su notación porque es simbólicamente eficiente. Tenemos diferentes prioridades :)

Los observables clásicos reales se cuantifican como operadores hermitianos, y ∂ m es anti-hermitiano. Entonces:

  • Constantes de estructura Buscamos generadores hermitianos.
  • Transformaciones Buscamos real θ , unitario R z y hermitiano j z .
  • Derivada covariante Buscamos hermítica A , V .
  • Curvatura/intensidad de campo Buscamos Hermitian F .
¿Por qué a los físicos les gusta poner la unidad imaginaria i=−1−−−√i=−1\:i=\sqrt{-1}\: en todas partes?
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