Integración compleja desplazando el contorno

Question

Integración compleja desplazando el contorno

usuario2582713

En la sección 12.11 de Electrodinámica clásica de Jackson, evalúa una integral involucrada en la solución de la función de Green para la ecuación de onda de 4 potenciales. Aquí está:

\int_{- \infty}^{\infty} d k_{0} \frac{{mi}^{- i k_{0} z_{0}}}{k_{0}^{2} - k^{2}}

$\int_{-\infty}^\infty dk_0 \frac{e^{-ik_0z_0}}{k_0^2-\kappa^2}$

dónde $k$ y $z_0$ son constantes reales.

Jackson considera dos contornos abiertos: uno por encima y otro por debajo del eje real. Entiendo que para usar el lema de Jordan, cuando $z_0 < 0$ tenemos que cerrar el contorno en la mitad superior del plano complejo mientras que si $z_0 > 0$ tenemos que cerrar el contorno en el semiplano inferior.

Lo que no entiendo es por qué está bien considerar contornos por encima y por debajo del eje real cuando la integral original está a lo largo del eje real. Según tengo entendido, la necesidad de tratar con polos como este también surge mucho en QFT, por lo que quizás se entienda bien desde ese punto de vista.

usuario2582713

Hola. Gracias por tu comentario. Creo que no he sido claro en mi pregunta. Entiendo el lema de Jordan que nos permite dejar que el radio de la parte semicircular del contorno cerrado tienda a infinito, lo que desvanece su contribución a la integral. Lo que no entiendo es que los contornos abiertos originales que considera antes de elegir cómo cerrarlos, están por encima y por debajo del eje real.

usuario2582713

Gracias. Sin preocupaciones. ¿Crees que la forma en que he formulado la pregunta es lo suficientemente clara? Podría agregar una edición. Además, ¿tienes una respuesta?

usuario2582713

¿Como en el valor principal de la integral? No creo que lo haga por razones basadas en la derivación en el libro. ¿Lo tienes?

usuario2582713

Continuemos esta discusión en el chat .

danu

Para cualquiera que esté considerando publicar una respuesta: Presumiblemente, la respuesta se proporciona eligiendo un llamado

i ϵ

$i\epsilon$ - o prescripción de polos para tratar con la integral, y luego tomar el límite donde la deformación se desvanece después. Creo que esta pregunta merece una explicación detallada que (al menos) cubra lo siguiente: 1) ¿Cuál es la prescripción del polo (es decir, una descripción básica del método). 2) ¿Por qué funciona la prescripción de polos? ¿Es de esperarse, etc.? 3) ¿Qué significan físicamente las prescripciones de postes (relacionarlos con las condiciones de contorno, tal vez)?

qmecanico

Véase también Wikipedia .

DanielSank

Es un poco interesante que este problema matemático generalmente no se discute en el contexto de un sistema realmente simple antes de que los libros/profesores de física sigan adelante y lo usen con algo complicado como ecuaciones de onda 3D o QFT. ¡Esta idea se puede explorar en el contexto de un oscilador armónico controlado por 1D!

ROBIN RAJ

Duda 1 math.stackexchange.com/questions/3410029/… Duda 2 math.stackexchange.com/questions/3409713/… alguien puede responder

Respuestas (4)

Integración compleja desplazando el contorno

Hola. Gracias por tu comentario. Creo que no he sido claro en mi pregunta. Entiendo el lema de Jordan que nos permite dejar que el radio de la parte semicircular del contorno cerrado tienda a infinito, lo que desvanece su contribución a la integral. Lo que no entiendo es que los contornos abiertos originales que considera antes de elegir cómo cerrarlos, están por encima y por debajo del eje real.
Gracias. Sin preocupaciones. ¿Crees que la forma en que he formulado la pregunta es lo suficientemente clara? Podría agregar una edición. Además, ¿tienes una respuesta?
¿Como en el valor principal de la integral? No creo que lo haga por razones basadas en la derivación en el libro. ¿Lo tienes?
Para cualquiera que esté considerando publicar una respuesta: Presumiblemente, la respuesta se proporciona eligiendo un llamado $i\epsilon$ - o prescripción de polos para tratar con la integral, y luego tomar el límite donde la deformación se desvanece después. Creo que esta pregunta merece una explicación detallada que (al menos) cubra lo siguiente: 1) ¿Cuál es la prescripción del polo (es decir, una descripción básica del método). 2) ¿Por qué funciona la prescripción de polos? ¿Es de esperarse, etc.? 3) ¿Qué significan físicamente las prescripciones de postes (relacionarlos con las condiciones de contorno, tal vez)?
Es un poco interesante que este problema matemático generalmente no se discute en el contexto de un sistema realmente simple antes de que los libros/profesores de física sigan adelante y lo usen con algo complicado como ecuaciones de onda 3D o QFT. ¡Esta idea se puede explorar en el contexto de un oscilador armónico controlado por 1D!
Duda 1 math.stackexchange.com/questions/3410029/… Duda 2 math.stackexchange.com/questions/3409713/… alguien puede responder

DanielSank · Answer 1

Un problema de referencia simple

Supongamos que queremos analizar el problema de un oscilador armónico forzado. denotar como $\phi(t)$ la posición dependiente del tiempo del oscilador. El oscilador experimenta dos fuerzas, la fuerza del resorte $-k\phi(t)$ y una fuerza externa $F_{\text{ext}}(t)$ . la ley de newton dice

\begin{aligned} F (t) & = metro a (t) \\ - k ϕ (t) + F_{extensión} (t) & = metro \ddot{ϕ} (t) \\ F_{extensión} (t) / metro & = \ddot{ϕ} (t) + (k / metro) ϕ (t) \\ (1) & j (t) & = \ddot{ϕ} (t) + ω_{0}^{2} ϕ (t) \end{aligned}

$\begin{align} F(t) &= m a(t) \\ -k \phi(t) + F_{\text{ext}}(t) &= m \ddot{\phi}(t) \\ F_{\text{ext}}(t)/m &= \ddot{\phi}(t) + (k/m) \phi(t) \\ j(t) &= \ddot{\phi}(t) + \omega_0^2 \phi(t) \tag 1 \end{align}$

dónde $\omega_0$ es la frecuencia de oscilación libre y $j(t)\equiv F_{\text{ext}}/m$ . Usamos la siguiente convención de transformada de Fourier:

\begin{aligned} F (t) & = \int_{ω} \tilde{F} (ω) {mi}^{i ω t} \frac{d ω}{2 π} \\ \tilde{F} (ω) & = \int_{t} F (t) {mi}^{- i ω t} d t . \end{aligned}

$\begin{align} f(t) &= \int_\omega \tilde{f}(\omega) e^{i\omega t} \frac{\mathrm d\omega}{2\pi} \\ \tilde{f}(\omega) &= \int_t f(t) e^{-i\omega t}~\mathrm dt . \end{align}$

Con esta convención sobre la Ec. $(1)$ , y definiendo

ω_{\pm} \equiv \pm ω_{0},

$\omega_{\pm} \equiv \pm \omega_0,$ encontramos

\begin{matrix} (2) & \tilde{ϕ} (ω) = \frac{\tilde{j} (ω)}{ω_{0}^{2} - ω^{2}} = \frac{- \tilde{j} (ω)}{(ω - ω_{+}) (ω - ω_{-})} . \end{matrix}

$\tilde{\phi}(\omega) = \frac{\tilde{j}(\omega)}{\omega_0^2-\omega^2} = \frac{-\tilde{j}(\omega)}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)}. \tag 2$ De la ecuación.

(2)

$(2)$ vemos que la función de Green es

\tilde{GRAMO} (ω) = \frac{- 1}{(ω - ω_{+}) (ω - ω_{-})}

$\tilde{G}(\omega) = \frac{-1}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)}$ que tiene polos en el eje real. Si queremos calcular

ϕ (t)

$\phi(t)$ hacemos una transformada de Fourier

\begin{matrix} (*) & ϕ (t) = \int_{ω} \frac{- \tilde{j} (ω) {mi}^{i ω t}}{(ω - ω_{+}) (ω - ω_{-})} \frac{d ω}{2 π} = \int_{ω} {mi}^{i ω t} \tilde{j} (ω) \tilde{GRAMO} (ω) \frac{d ω}{2 π} . \end{matrix}

$\phi(t) = \int_\omega \frac{-\tilde{j}(\omega)e^{i\omega t}}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)} \frac{\mathrm d\omega}{2\pi} = \int_\omega e^{i\omega t}\tilde{j}(\omega) \tilde{G}(\omega)\frac{\mathrm d\omega}{2 \pi}. \tag{*}$

Esta integral es complicada debido a los polos en el eje. La solución que todos conocen es empujar los polos fuera del eje agregando una parte imaginaria a $\omega_{\pm}$ , o moviendo el contorno por encima o por debajo del eje real, pero ¿qué significa esto realmente físicamente? ¿Cómo elegimos en qué dirección empujar los polos o mover el contorno?

Amortiguación al rescate

En un sistema real, siempre tenemos algo de amortiguamiento . En nuestro modelo de oscilador, esto podría venir en forma de fricción dependiente de la velocidad. $F_{\text{friction}} = -\mu \dot{\phi}(t)$ . Definición $2\beta = \mu/m$ , la ecuación de movimiento se convierte en

\begin{matrix} (3) & \ddot{ϕ} (t) + 2 β \dot{ϕ} (t) + ω_{0}^{2} ϕ (t) = j (t) . \end{matrix}

$\ddot{\phi}(t) + 2\beta \dot{\phi}(t) + \omega_0^2\phi(t) = j(t) . \tag 3$

Fourier transformando todo de nuevo conduce a la Ec. $(2)$ pero ahora con

ω_{\pm} = \pm ω_{0}^{'} + i β

$\begin{equation} \omega_{\pm} = \pm \omega_0' + i\beta \end{equation}$ dónde

ω_{0}^{'} = ω_{0} \sqrt{1 - (β / ω_{0})^{2}} .

$\begin{equation} \omega_0' = \omega_0\sqrt{1-(\beta/\omega_0)^2}. \end{equation}$

Por lo tanto, vemos que agregar amortiguamiento mueve los polos un poco hacia el origen a lo largo del eje real, pero también les da una componente imaginaria positiva. En el límite de amortiguamiento pequeño (es decir $\beta \ll \omega_0$ ), encontramos $\omega_0' \approx \omega_0$ . En otras palabras, el cambio de frecuencia de los polos debido al amortiguamiento es pequeño. Así que ignoremos eso y concentrémonos en la parte imaginaria agregada.

Ok, supongamos que queremos hacer la integral $(*)$ en el caso de que $j(t)$ es una función delta en $t=0$ . En ese caso, $\tilde{j}=1$ (Estoy ignorando las unidades) y tenemos

ϕ (t) = \int_{ω} \frac{{mi}^{i ω t}}{(ω - ω_{+}) (ω - ω_{-})} \frac{d ω}{2 π}

$\phi(t) = \int_\omega \frac{e^{i\omega t}}{(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)} \frac{\mathrm d\omega}{2\pi}$ Como usted señaló, por

t < 0

$t<0$ tienes que cerrar el contorno en el plano inferior para usar el lema de Jordan. No hay polos en el semiplano inferior, por lo que obtenemos

ϕ (t < 0) = 0

$\phi(t<0)=0$ . Esto tiene mucho sentido: la fuerza impulsora es una función delta en

t = 0

$t=0$ y no debería haber ninguna respuesta del sistema antes de que ocurra la conducción. ¡Esto significa que nuestra introducción de la fricción impuso una condición límite causal al sistema! Para

t > 0

$t>0$ , cierras en el semiplano superior donde hay polos, y obtienes alguna respuesta de la integral.

La amortiguación como herramienta

En muchos casos, naturalmente no tiene amortiguación en el sistema. Por ejemplo, la función de Green de la pregunta,

\int_{- \infty}^{\infty} d k_{0} \frac{{mi}^{- i k_{0} z_{0}}}{k_{0}^{2} - k^{2}}

$\int^{\infty}_{-\infty}~\mathrm dk_0 \frac{e^{−ik_0 z_0}}{k_0^2 − \kappa^2}$ no tiene ningún amortiguamiento y, por lo tanto, los polos se sientan en el eje real. Entonces, lo que haces es simplemente subir o bajar un poco el contorno, o de manera equivalente, agregar

\pm i β

$\pm i \beta$ a los polos (la mayoría de la gente escribe

i ϵ

$i \epsilon$ en vez de

i β

$i \beta$ ), luego haga la integral, y finalmente tome

β \to 0

$\beta \rightarrow 0$ . Al hacer esto, está resolviendo el problema en presencia de amortiguación (o anti-amortiguación), y luego lleva la amortiguación a cero al final para recuperar el caso sin amortiguación.

Elegir empujar el contorno hacia arriba o hacia abajo, o de manera equivalente elegir el signo de $\pm i \beta$ , corresponde a imponer condiciones de contorno de fricción o antifricción, causales o anticausales. Si elige la condición de contorno "causal", encontrará que la respuesta del sistema a una función delta en el tiempo y el espacio es una onda esférica saliente que comienza en la fuente de la función delta. Esto le da la llamada "función de Green retrasada". Si elige la otra condición, encontrará que la solución para una fuente puntual es en realidad una onda esférica entrante que converge justo en el punto de la fuente. Esto le da la llamada "función de Green avanzada".

La cuestión es que puedes resolver un problema usando cualquiera de las funciones de Green. Tiene "permiso" para empujar el contorno hacia arriba o hacia abajo (o agregar $+i\beta$ o $-i\beta$ a los polos) porque eso lo inventaste como un truco para hacer la integral; no representa un factor real en su sistema físico. Por supuesto, en problemas donde hay amortiguamiento , la elección está hecha por usted. Cuando tienes amortiguamiento, no puedes tener campos en el infinito; se amortiguarían cuando interactúen con sus fuentes.

Espero que esto haya sido útil, y realmente espero que si alguien encuentra errores, salte y los corrija.

También se puede poner un polo por encima y el otro por debajo del eje real (prescripción de Feynman).
@Adam: De hecho. Mi respuesta se hizo un poco larga, así que no entré en eso. Parte de la razón es que realmente no entiendo por qué esa opción es buena. Si lo sabes, creo que puedes editar mi respuesta ... ¿verdad?
Acordado. No creo que tenga sentido en el caso de su ejemplo, pero es útil en QFT, ya que corresponde al propagador ordenado por tiempo.
@DanielSank: el $i\epsilon$ Receta Feynman, en tu caso $p^2- m^2 \to p^2- m^2 + i\epsilon$ , se hace para estar seguro de la convergencia de la función de partición QFT $Z = \int D\Phi e^{iS(\phi)}$ , con $S(\phi) = - \phi (\square + m^2) \phi$ , por lo que esto tiene el efecto de agregar un término $e ^{-\epsilon \phi^2}$ en la integral, haciendo que la integral sea convergente. Otro punto de vista es que, con el contorno de Feynman, puedes hacer una rotación de Wick ( $90°$ rotación), yendo a una energía imaginaria (euclidiana), sin cruzar los polos.
@Trimok: Ah, entonces la idea es rotar el contorno en lugar de trasladarlo hacia arriba o hacia abajo en el plano complejo. En realidad nunca entendí eso antes, así que gracias.
@Danu: Por cierto, dado lo física que es mi respuesta y lo útil que fue para OP (por su propia declaración), creo que esto es evidencia de por qué preguntas como esta deberían permitirse vivir en Physics SE. Es difícil decirlo con certeza, pero dado que una respuesta orientada a la física fue bien recibida, creo que las personas que leen Physics SE podrían beneficiarse de esto tanto o más que las personas que leen Math SE.
@Adam: Supongo que no hay una manera simple de entender por qué poner un polo hacia arriba y otro hacia abajo (es decir, rotar el contorno a la @Trimok) da el propagador ordenado por tiempo, ¿verdad?
Hay una forma "simple" de entender lo que hace el propagador de Feynman: mientras que los propagadores avanzado y retardado propagan todos los modos de energía hacia adelante/atrás en el tiempo (lo que corresponde a cambiar ambos polos hacia arriba/abajo), el propagador de Feynman propaga la "energía positiva". modos" (polo derecho, desplazado hacia abajo) hacia adelante y los "modos de energía negativa" (polo izquierdo, desplazado hacia arriba) hacia atrás en el tiempo, lo que corresponde a la imagen de las antipartículas como "agujeros" de energía negativa que viajan hacia atrás en el tiempo.
@ACuriousMind: Eso es bastante claro y útil. ¿Puedes explicar por qué eso es lo mismo que ordenar el tiempo?
No estoy muy seguro, pero: al ordenar por tiempo $\langle\Omega\vert T\phi(x)\phi(y)\vert\Omega\rangle$ , cambiamos esencialmente de "prob. de partícula emitida en y y detectada en x" a "probabilidad de partícula emitida en x y detectada en y" en el instante en que cambia el orden de tiempo de x e y, es decir, tenemos el partícula que viaja hacia adelante en el tiempo siempre . Ahora, la simetría CPT nos dice que esto significa que las antipartículas viajan siempre hacia atrás en el tiempo . Suponiendo la correspondencia entre los modos de energía y las (anti-)partículas, esto significa que el propagador de Feynman sigue la misma "idea" que la ordenación temporal.
@ACuriousMind: Ciertamente, las consideraciones de orden de tiempo no se limitan a problemas de partículas. ¿No aparece este tipo de cosas siempre que hay un hamiltoniano dependiente del tiempo?
Hm, sí, el orden de tiempo aparece entonces, pero no podría decirte la aparición de un propagador ordenado por tiempo fuera de las amplitudes de dispersión de QFT en la parte superior de mi cabeza.
@ACuriousMind: ¡Ay! Que técnicas como esta deban introducirse y entenderse solo en una porción tan pequeña del pastel de la física es increíblemente frustrante.

Sohrab Ismail-Beigi · Answer 2

Creo que esta pregunta ha sido básicamente respondida. Hay muchas cosas matemáticas arriba (contornos, etc.) pero la pregunta inicial publicada era una pregunta de física.

Brevemente: tienes una ecuación diferencial que describe algún problema físico. Encuentras la solución. En este caso, es una integral que es "divertida" y requiere que se tomen algunas decisiones para que sea única y significativa. La física se pregunta por qué se toman las decisiones y qué significan.

Recuerde, una ecuación diferencial por sí misma no es una descripción completa de la realidad física. Resolver la ecuación diferencial le brinda todas las posibles soluciones a un problema que es bueno pero demasiado. Las ecuaciones diferenciales siempre van de la mano con las condiciones de contorno. Las condiciones de contorno son igualmente importantes. Le dicen qué solución es la significativa para su problema.

En este caso, como se explicó anteriormente, la condición de contorno es una solución retardada frente a una solución avanzada. Cuando golpea el sistema en t = 0 (con el forzado de la función delta), ¿la respuesta del sistema avanza o retrocede en el tiempo? Es decir, ¿no estaba haciendo nada antes de t=0 y luego hace cosas (retrasado)? ¿O estaba haciendo cosas para t<0 y luego lo golpeó correctamente para que se detuviera en t>0 y no hiciera nada (avanzado)? La prescripción final (la de Feynman de mover un polo hacia arriba y otro hacia abajo) se llama "ordenada en el tiempo": se crea un nuevo tipo de condición límite que une las soluciones retrasadas y avanzadas de una manera particular en t=0.

Como se explicó anteriormente, no hay una respuesta "correcta" o una forma "correcta" de hacer la integral. Depende de las condiciones de contorno. Sin condiciones de contorno, todas las formas están bien.

Si cree que estas condiciones de contorno son solo para este caso y nada muy común, reconsidere. Por ejemplo, todos sabemos intuitivamente que cuando se habla de estados propios de algún hamiltoniano en física, se normalizan. Eso nos da significado y nos permite calcular probabilidades. También que para un sistema finito las energías están discretizadas. Pero matemáticamente no es así en absoluto: si solo resuelves la ecuación de Schrödinger como una entidad matemática, obtendrás soluciones en todas las energías y funciones propias asociadas. Solo aquellos especiales con las energías adecuadas son normalizables. Aquí la condición límite es que la función de onda es normalizable (va a cero lo suficientemente rápido en el infinito). Sin él, no puedes calcular nada ni hacer predicciones reales de probabilidad sin que puedas. t averiguar qué es qué o normalizar las cosas. ¡Así que las condiciones de contorno son bastante importantes y básicas!

Duda 1 math.stackexchange.com/questions/3410029/… Duda 2 math.stackexchange.com/questions/3409713/… ¿Puedes responder esto?

alex r · Answer 3

Tal como está escrito, la integral simplemente no existe en el sentido de Riemann: hay una singularidad en $k_0=\pm\kappa$ . Así que realmente estamos viendo la parte del Principio de Cauchy, que se define por:

\int_{- \infty}^{\infty} d k_{0} \frac{{mi}^{- i k_{0} z_{0}}}{k_{0}^{2} - k^{2}} = \underset{ϵ \to 0}{límite} (\int_{- \infty}^{- k - ϵ} + \int_{- k + ϵ}^{k - ϵ} + \int_{k + ϵ}^{\infty}) d k_{0} \frac{{mi}^{- i k_{0} z_{0}}}{k_{0}^{2} - k^{2}} .

$\int_{-\infty}^\infty dk_0 \frac{e^{-ik_0z_0}}{k_0^2-\kappa^2}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(\int_{-\infty}^{-\kappa-\epsilon}+\int_{-\kappa+\epsilon}^{\kappa-\epsilon}+ \int_{\kappa+\epsilon}^{\infty}\right)dk_0\frac{e^{-ik_0z_0}}{k_0^2-\kappa^2}.$

para fijo $\epsilon$ , cada integrando es agradable y continuo (casi $\epsilon$ del eje real), por lo que si integramos en un contorno que está ligeramente por encima del eje real, obtendremos algo muy cercano a la integral original, en términos de $\epsilon$ . Si ahora controla el error en términos de épsilon, puede hacer que todo el argumento sea riguroso y, posteriormente, tomar $\epsilon\rightarrow 0$ .

Gracias por tu respuesta. ¿No están el primer y el último tramo de la integral todavía a lo largo del eje real? Los contornos abiertos en Jackson que cierra están por encima y por debajo del eje real.
@user2582713: Quizás hice un mal trabajo al explicar. Si tienes una buena función continua $f(x)$ , con integral $\int_{\mathbb{R}}f(x)dx$ , entonces va a estar cerca de $\int_{\mathbb{R}+i\delta}f(z)dz$ , por $\delta$ pequeña. Parece que Jackson está tratando de eludir el problema de tener una singularidad en la línea real al considerar las integrales un poco más arriba, lo que suena como considerar primero la parte principal y luego hacer las integrales mencionadas.
@ user2582713: Es por eso que estás viendo la integral hasta $-\kappa-\epsilon$ , por lo que no golpea la singularidad.
ESTÁ BIEN. Entonces, ¿puede evaluar la primera y la última integral ligeramente por encima o por debajo del eje real y luego dejar que la deformación tienda a cero? Y entonces, ¿qué haces con las singularidades?
@ user2582713: Su épsilon está arreglado, por lo que su deformación tiene un error que depende solo de las propiedades globales de $f$ y en $\epsilon$ . Entonces, una vez que tenga control sobre ese error, tome $\epsilon\rightarrow 0$ .
Duda 1 math.stackexchange.com/questions/3410029/… Duda 2 math.stackexchange.com/questions/3409713/… ¿Puedes responder esto?

d_b · Answer 4

Esencialmente, lo que sucede es que deformamos el contorno de integración cerca del polo agregando un semicírculo de radio $\varepsilon$ centrado en el polo por encima o por debajo del eje real. Entonces podemos calcular la integral a través del teorema del residuo y tomar el límite $\varepsilon \rightarrow 0$ correspondiente al contorno original.

Ya dije esto en un comentario, y creo que esta pregunta merece una respuesta mucho más larga y elaborada que entre en detalles de 1) por qué funciona esto 2) qué significa físicamente (diferentes recetas de postes -> diferentes propagadores, etc.)
Duda 1 math.stackexchange.com/questions/3410029/… Duda 2 math.stackexchange.com/questions/3409713/… ¿Puedes responder esto?

Integración compleja desplazando el contorno

usuario2582713

usuario2582713

usuario2582713

usuario2582713

usuario2582713

danu

qmecanico

DanielSank

ROBIN RAJ

Respuestas (4)

DanielSank

Un problema de referencia simple

Amortiguación al rescate

La amortiguación como herramienta

Adán

DanielSank

Adán

Trimok

DanielSank

DanielSank

DanielSank

una mente curiosa

DanielSank

una mente curiosa

DanielSank

una mente curiosa

DanielSank

Sohrab Ismail-Beigi

ROBIN RAJ

alex r

usuario2582713

alex r

usuario2582713

alex r

usuario2582713

alex r

ROBIN RAJ

d_b

danu

ROBIN RAJ