¿Es el propagador de Feynman integrable sobre el espacio-tiempo de Minkowski?

Question

¿Es el propagador de Feynman integrable sobre el espacio-tiempo de Minkowski?

usuario143410

Configuración: considere el propagador de Feynman tal como aparece en Peskin y Schroeder eq. 2.59:

\begin{aligned} D_{F} (X - y) \equiv i \int_{R^{4}} \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{{mi}^{i pag \cdot (X - y)}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ}, \end{aligned}

$\begin{align} D_F(x-y)\equiv i\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}, \end{align}$ dónde

p, x, y

$p,x,y$ denote 4-vectores;

p^{2} \equiv η_{μ ν} p^{μ} p^{ν}

$p^2\equiv \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu$ ,

p \cdot (x - y) \equiv η_{μ ν} p^{μ} (x - y)^{ν}

$p\cdot (x-y)\equiv \eta_{\mu\nu}p^\mu (x-y)^\nu$ ; la convención de signos aquí es

diag (η) = (+ 1, - 1, - 1, - 1)

$\text{diag}(\eta)=(+1,-1,-1,-1)$ ; y el

i ϵ

$i\epsilon$ se ha insertado para la convergencia.

Las siguientes manipulaciones "formales" parecerían implicar $i\int d^4x D_F(x-y)=1/m^2$ .

\begin{aligned} i \int_{R^{4}} d^{4} X D_{F} (X - y) & = - \int_{R^{4}} d^{4} X \int_{R^{4}} \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{{mi}^{i pag \cdot (X - y)}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} \\ = - \int_{R^{4}} d^{4} pag \frac{{mi}^{- i pag \cdot y}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} \int_{R^{4}} \frac{d^{4} X}{(2 π)^{4}} {mi}^{i pag \cdot X} \\ = - \int_{R^{4}} d^{4} pag \frac{{mi}^{- i pag \cdot y}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} d^{(4)} (pag) \\ (*) & = \frac{1}{{metro}^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} i\int_{\mathbb{R}^4}d^4x D_F(x-y)&=-\int_{\mathbb{R}^4} d^4x \int_{\mathbb{R}^4}\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}\\ &=- \int_{\mathbb{R}^4}d^4p\frac{e^{-ip\cdot y}}{p^2-m^2+i\epsilon}\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4x}{(2\pi)^4}e^{ip\cdot x}\\ &=- \int_{\mathbb{R}^4}d^4p\frac{e^{-ip\cdot y}}{p^2-m^2+i\epsilon} \delta^{(4)}(p)\\ &=\frac{1}{m^2}, \tag{*}\label{*} \end{align}$ donde usé un estándar

δ

$\delta$ -identidad en pasar de la 2ª a la 3ª línea, y tomó la

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ límite después de realizar el

p

$p$ -integral.

Pregunta(s) Estas manipulaciones son "formales" en el sentido de que he intercambiado el orden de integración sin justificación. Supongo que, en general, uno querría aplicar algo parecido al teorema de Fubini. Sin embargo, no estoy seguro de hasta qué punto la regularización implícita en el propagador de Feynman podría alterar tal argumento.

¿Se pueden justificar estas manipulaciones formales? ¿Hasta qué punto es $\eqref{*}$ un resultado verdadero y hay alguna intuición física para ello?

Seid oscuro

¿No estás simplemente eligiendo el

p = 0

$p = 0$ componente del propagador integrando sobre todo

x

$x$ ?

usuario143410

¿Podría elaborar? Mis manipulaciones formales indican sólo la

p = 0

$p=0$ parte contribuye, pero no sé hasta qué punto se debe confiar en estas manipulaciones. Tampoco es intuitivo para mí por qué sólo el

p = 0

$p=0$ parte debe contribuir a la

x

$x$ -integral.

Sean E. Lago

@ user143410 Entiendes la relación entre la serie de Taylor y los momentos de función, y cómo intercambian lugares bajo la transformación de Fourier, ¿verdad? Entonces, evaluando la función transformada de Fourier en

p = 0

$p=0$ es lo mismo que evaluar la integral y evaluar la función original en

x = 0

$x=0$ es lo mismo que tomar el momento cero de la función transformada de Fourier.

Seid oscuro

@ usuario143410 esto es lo que

p = 0

$p = 0$ componente es, una suma sobre todo

x

$x$ . Esto podría considerarse parte de la definición de la transformada de Fourier.

usuario143410

@ SeanE.Lake Ahora veo lo que significaba "evaluar la función transformada de Fourier en

p = 0

$p=0$ es lo mismo que evaluar la integral": mi integral

(*)

$\eqref{*}$ es solo

\int d^{4} x e^{i 0 \cdot (x - y)} D_{F} (x - y)

$\int d^4x e^{i 0 \cdot (x-y)} D_F(x-y)$ . ¿Por "cambiar de lugar bajo la transformación de Fourier" te refieres a esto ?

Sean E. Lago

@ usuario143410 No. Quiero decir, si tomas la fórmula para el

n^{t h}

$n^{\mathrm{th}}$ momento

{METRO}_{norte} = \int X^{norte} F (X) d X

$M_n = \int x^n f(x) \operatorname{d}x$ y caer en

f (x) = \int \tilde{f} (k) \frac{e^{i k x}}{\sqrt{2 π}} d k

$f(x) = \int \tilde{f}(k) \frac{\mathrm{e}^{ikx}}{\sqrt{2\pi}} \operatorname{d}k$ encontrarás eso

{METRO}_{norte} = {(- i)^{norte} \frac{\partial^{norte} \tilde{F}}{\partial k^{norte}} |}_{k = 0} .

$M_n = \left.(-i)^n\frac{\partial^n \tilde{f}}{\partial k^n}\right|_{k=0}.$

Respuestas (2)

¿Es el propagador de Feynman integrable sobre el espacio-tiempo de Minkowski?

¿No estás simplemente eligiendo el $p = 0$ componente del propagador integrando sobre todo $x$ ?
¿Podría elaborar? Mis manipulaciones formales indican sólo la $p=0$ parte contribuye, pero no sé hasta qué punto se debe confiar en estas manipulaciones. Tampoco es intuitivo para mí por qué sólo el $p=0$ parte debe contribuir a la $x$ -integral.
@ user143410 Entiendes la relación entre la serie de Taylor y los momentos de función, y cómo intercambian lugares bajo la transformación de Fourier, ¿verdad? Entonces, evaluando la función transformada de Fourier en $p=0$ es lo mismo que evaluar la integral y evaluar la función original en $x=0$ es lo mismo que tomar el momento cero de la función transformada de Fourier.
@ usuario143410 esto es lo que $p = 0$ componente es, una suma sobre todo $x$ . Esto podría considerarse parte de la definición de la transformada de Fourier.
@ SeanE.Lake Ahora veo lo que significaba "evaluar la función transformada de Fourier en $p=0$ es lo mismo que evaluar la integral": mi integral $\eqref{*}$ es solo $\int d^4x e^{i 0 \cdot (x-y)} D_F(x-y)$ . ¿Por "cambiar de lugar bajo la transformación de Fourier" te refieres a esto ?
@ usuario143410 No. Quiero decir, si tomas la fórmula para el $n^{\mathrm{th}}$ momento ${METRO}_{norte} = \int X^{norte} F (X) d X$ $M_n = \int x^n f(x) \operatorname{d}x$ y caer en $f(x) = \int \tilde{f}(k) \frac{\mathrm{e}^{ikx}}{\sqrt{2\pi}} \operatorname{d}k$ encontrarás eso ${METRO}_{norte} = {(- i)^{norte} \frac{\partial^{norte} \tilde{F}}{\partial k^{norte}} |}_{k = 0} .$ $M_n = \left.(-i)^n\frac{\partial^n \tilde{f}}{\partial k^n}\right|_{k=0}.$

Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

Todo esto se vuelve matemáticamente riguroso dentro de la teoría de las distribuciones templadas de Schwartz y sus transformadas de Fourier. Poner $y=0$ por simplicidad. Entonces $D_{F}(x)$ es en $S'(\mathbb{R}^4)$ . Ahora estás tomando su transformada de Fourier. Ningún problema. Entonces lo estás evaluando con impulso cero. Eso necesita cuidado porque la transformada de Fourier (que también es el propagador en el espacio de momento) también es una distribución. Afortunadamente, cero no está en el soporte singular de esta distribución, por lo que la evaluación puntual es legítima y da la $1/m^2$ . Su cálculo simplemente equivale al teorema de inversión de Fourier para una distribución templada. Para aprender acerca de las distribuciones vea el antiguo libro de Laurent Schwartz "Mathematics for the Physical Sciences" , o el libro de Strichartz "A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms" .

Un enfoque de tecnología más baja (pero con la teoría de las distribuciones al acecho en el fondo) es hacer Fubini, etc. con el propagador

\frac{{mi}^{- ϵ_{1} {pag}^{2}}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ_{2}}

$\frac{e^{-\epsilon_1 p^2}}{p^2-m^2+i\epsilon_2}$ y luego tomar los límites

ϵ_{1}, ϵ_{2} \to 0^{+}

$\epsilon_1,\epsilon_2\rightarrow 0^{+}$ . Cuidado: el

p^{2}

$p^2$ en la exponencial es con signatura euclidiana . Esto te trae de

S^{'} (R^{4})

$S'(\mathbb{R}^4)$ a

S (R^{4})

$S(\mathbb{R}^4)$ y básicamente probando la fórmula de inversión de Fourier en el último espacio. De hecho, esta prueba generalmente requiere la introducción de otra

e^{- ϵ_{3} x^{2}}

$e^{-\epsilon_3 x^2}$ , nuevamente con firma euclidiana. Buena suerte con todos los épsilons.

PD: Dije que la teoría de las distribuciones está al acecho en el fondo debido a los siguientes dos hechos. El espacio $S(\mathbb{R}^d)$ de funciones que decaen rápidamente (para las cuales las herramientas clásicas como Fubini, etc. funcionan bien) es densa en el espacio de las distribuciones $S'(\mathbb{R}^d)$ . El segundo hecho es que las operaciones sobre distribuciones como tomar la transformada de Fourier se definen como las únicas extensiones continuas de sus versiones clásicas sobre $S(\mathbb{R}^d)$ . Entonces, poner todos los epsilons equivale a hacer un análisis distribucional clásico, es decir, al nivel de un primer curso de posgrado en análisis, teoría de la medida, etc.

Sean E. Lago · Answer 2

Sólo formalmente, en el mismo sentido que

\int_{- \infty}^{\infty} d X \frac{{mi}^{i k X}}{2 π} = d (k) .

$\int_{-\infty}^\infty \operatorname{d}x\, \frac{\operatorname{e}^{ikx}}{2\pi} = \delta(k).$ ¿Por qué? Puede verificar que si integra el propagador de Feynman en el espacio de posición sobre todo el espacio obtendrá

\int d^{3} y D_{F} (X - y) = \frac{1}{2 metro} pecado (metro | X^{0} - y^{0} |) - \frac{i}{metro} porque (metro [X^{0} - y^{0}]),

$\int \operatorname{d}^3y\, D_F(x-y) = \frac{1}{2m}\sin(m|x^0-y^0|) - \frac{i}{m} \cos(m[x^0-y^0]),$ donde puede que haya estropeado la escala delante del término coseno, pero la que está delante del término seno es correcta. Obtener ese término sinusoidal correcto es una parte esencial para satisfacer las condiciones de contorno en la ecuación definitoria del propagador.

◻ D_{F} (X - y) + {metro}^{2} D_{F} (X - y) = d^{4} (X - y) .

$\Box D_F(x-y) + m^2 D_F(x-y) = \delta^4(x-y).$ Simplemente integre ambos lados de la ecuación definitoria en todo el espacio para ver de lo que estoy hablando.

Al hacer la integral de tiempo en los términos del seno y el coseno, encontrará que converge en la media para

\begin{aligned} \int d X^{0} [\frac{1}{2 metro} pecado (metro | X^{0} - y^{0} |) - \frac{i}{metro} porque (metro [X^{0} - y^{0}])] & = \frac{1}{{metro}^{2}} {[- porque (metro tu) - 2 i pecado (metro tu)]}_{tu = 0}^{{tu}_{metro a X}} \\ = \frac{1}{{metro}^{2}} - \frac{porque (metro {tu}_{metro a X}) + 2 i pecado (metro {tu}_{metro a X})}{{metro}^{2}} \\ \to \frac{1}{{metro}^{2}} i norte t h mi metro mi a norte . \end{aligned}

$\begin{align} \int \operatorname{d}x^0 \left[\frac{1}{2m}\sin(m|x^0-y^0|) - \frac{i}{m} \cos(m[x^0-y^0])\right] &= \frac{1}{m^2}\left[-\cos(mu) - 2i \sin(mu)\right]_{u=0}^{u_\mathrm{max}} \\ & = \frac{1}{m^2} - \frac{\cos(mu_{\mathrm{max}}) +2i\sin(mu_{\mathrm{max}})}{m^2} \\ &\rightarrow \frac{1}{m^2}\ \mathrm{in\ the\ mean.} \end{align}$

Me gusta su evaluación del espacio de posición que hace explícito el tipo de "aproximación"/promedio que se realiza con las manipulaciones formales. Me pregunto si el propagador de Minkowski es igual o menos convergente en este sentido que el euclidiano. Ingenuamente, el propagador euclidiano debería contener divergencias solo en el origen (b/c $|x_1-x_2|=0$ sólo cuando $x_1=x_2$ ), mientras que el de Minkowski podría ser divergente a lo largo de todo el cono de luz (b/c $|x_1-x_2|=0$ en el cono de luz).
@ user143410 El propagador euclidiano es completamente convergente: es solo una función de Bessel modificada del segundo tipo en todas las direcciones, amortiguada exponencialmente. Cuando integras todas menos una dirección de esa, obtienes $\sqrt{\frac{| X - X^{'} |}{2 π metro}} k_{- 1 / 2} (metro | X - X^{'} |) = \frac{1}{2 metro} Exp (- metro | X - X^{'} |) .$ $\sqrt{\frac{|x-x'|}{2\pi m}}K_{-1/2}(m|x-x'|)=\frac{1}{2m}\exp(-m|x-x'|).$ Minkowski solo es finito para $d=2$ , de lo contrario, tiene una divergencia a medida que se acerca al cono de luz desde adentro ( $d$ ni siquiera), o una función delta en él ( $d$ incluso).

¿Es el propagador de Feynman integrable sobre el espacio-tiempo de Minkowski?

usuario143410

Seid oscuro

usuario143410

Sean E. Lago

Seid oscuro

usuario143410

Sean E. Lago

Respuestas (2)

Abdelmalek Abdesselam

Sean E. Lago

usuario143410

Sean E. Lago

Transformada de Fourier del propagador libre al cuadrado - ∫d4p e−ip⋅xp2+m2−iϵ∫d4p e−ip⋅xp2+m2−iϵ\int d^{4}p\ \frac{e^{-ip\cdot x }}{p^{2}+m^{2}-i\épsilon}

"Propagador inverso" dependiente del corte para la renormalización

Acción efectiva 1PI de un lazo y propagadores vestidos

Prueba de función de dos puntos de series geométricas

Integración compleja desplazando el contorno

Lagrangiano complicado: comprobación de las reglas de Feynman

¿Qué significa realmente calcular cosas a nivel de árbol?

Reglas de Feynman del Lagrangiano

Una confusión del texto QFT de Weinberg (un término que desaparece en la ecuación de Lippmann-Schwinger)

Integral de contorno del propagador de Klein Gordon retardado