Creo que esto es más un comentario porque creo que realmente no entiendo tu pregunta, pero es larga, así que la publicaré como respuesta. Eliminaré si parece que estaba completamente en el camino equivocado.

La forma en que explica la pregunta no tiene sentido con la forma en que pienso sobre QFT.$\phi$es un campo valorado por un operador. el espacio que$\phi$opera es el espacio de hilbert, y en realidad no decimos que los puntos de espacio-tiempo en el espacio de hilbert estén o no separados como el espacio, porque no son puntos de espacio-tiempo; son puntos en el espacio de hilbert.

Ahora permítanme hacer algunos puntos acerca de la notación. Los puntos en el espacio de Hilbert generalmente se representan mediante kets. Escribamos tu$f$y$g$como$|f\rangle$y$|g \rangle$. Esta es una notación más estándar. Para escribir la operación de$\phi$en un ket usualmente usamos yuxtaposición, así que escribiríamos$\phi |f\rangle$. Para expresar la dependencia de$\phi$en la coordenada del espacio-tiempo, usamos paréntesis. Entonces el operador$\phi$en el punto del espacio-tiempo$x$estaría escrito$\phi(x)$.

La declaración "localidad" a la que estoy acostumbrado (lo habría llamado causalidad) es en realidad la ecuación del operador$\phi(x) \phi(y) = \phi(y) \phi(x)$cuando sea$x$es como un espacio separado de$y$. Otra forma de escribir la ecuación es$[\phi(x), \phi(y)]=0$.

Tal vez esté tratando con una noción más complicada de un QFT donde$\phi$es un campo en$C{^\infty _0 }_{real}$. ¿Es este el caso? Este es el punto principal sobre el que tenía curiosidad.

De todos modos, su pregunta se convierte en cómo entiendo lo que significa que dos puntos de espacio-tiempo estén separados como en el espacio. Aquí hay una pregunta relacionada con este sitio web, y también puedo referirlo a un artículo en wikipedia. Para que dos puntos estén separados como un espacio, deben estar fuera del cono de luz del otro. Consulte los enlaces para obtener más detalles.

Si realmente se supone que los campos deben definirse en$C{^\infty _0 }_{real}$, entonces no sé cómo esperar que se vean los soportes porque no tengo experiencia con esto. Supongo que decir que los soportes están separados como espacios significa que hay todos los pares de puntos con uno en cada soporte que están separados como espacios.

Editar

Ok, leí el pdf y vi lo que hizo. el esta usando$\phi(f)$como abreviatura de$\int \phi(x) f(x) dx$. Creo que prefiere tratar con$\phi(f)$encima$\phi(x)$porque está tratando de ser matemáticamente riguroso, y esto$\phi(f)$la notación será conveniente para ese propósito.

De todos modos su$[\phi(f),\phi(g)]=0$condición es equivalente a mi$[\phi(x),\phi(y)]=0$condición.

Para ver la implicación directa, tome$f(x')=\delta(x'-x)$y$g=\delta(y'-y)$. Entonces$f$y$g$están separados como el espacio si$x$y$y$son. Así si$x$y$y$están separados como el espacio entonces$[\phi(f),\phi(g)]=0$, por otro lado,$\phi(f)=\int \phi(x') f(x') dx'=\int \phi(x') \delta(x'-x) dx' = \phi(x)$, y de manera similar$\phi(g)=\phi(y)$. Así tenemos que$[\phi(x),\phi(y)]=0$.

Para obtener la dirección inversa, vea que

$$[\phi(f),\phi(g)]=[\int \phi(x') f(x') dx',\int \phi(y') g(y') dy']=\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy$$ . Ahora si $f$y $g$están separadas como el espacio, entonces las únicas veces que $f(x')$y $g(y')$son ambos distintos de cero son cuando $x'$y $y'$están separados como el espacio, pero luego $[\phi(x'),\phi(y')]=0$, por lo que concluimos que $\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy=0$. Esto prueba la otra dirección.

Por lo tanto, para obtener una intuición de lo que quiere decir, basta con pensar en la condición en puntos individuales. Puede leer la parte de la respuesta sobre las ediciones para ver qué significa que dos puntos estén separados como un espacio. Supongo que para ser matemáticamente riguroso, necesita establecer el condicional formalmente en términos de este$\phi(f)$.

No, no te imagines rayos de luz. La función de prueba está destinada a ser compatible con un pequeño bache cerca de algún evento.

Para campos escalares libres, es particularmente útil pensar en una función de prueba$f(x,t) = \delta_{t_0}(t) \psi(x)$, dónde$\delta_{t_0}$es una aproximación suave a una función delta y$\psi$es una función de onda. En este caso especial, el operador$\phi(f)$actúa sobre el espacio de Hilbert creando una partícula cuya función de onda en el tiempo$t_0$es$\psi$.

Más generalmente, la función de prueba es una fuente para sus campos. Este principio brinda cierta ayuda cuando se trata de campos de calibre (donde debe acoplarse a corrientes conservadas, que no se pueden localizar por completo).