Una confusión del texto QFT de Weinberg (un término que desaparece en la ecuación de Lippmann-Schwinger)

1) OP básicamente se pregunta cómo Weinberg en el medio de la p. 112 puede extender la región de integración desde$^1$

$${\cal J}^{\pm}_{\beta}~=~ \int_{m_{\alpha}}^{\infty} \!dE_{\alpha}\frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(E_{\alpha})T_{\beta\alpha}^{\pm}} {E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i0^{+}}$$

para incluir el eje real negativo

$${\cal J}^{\pm}_{\beta}~=~ \int_{-\infty}^{\infty} \!dE_{\alpha}\frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(E_{\alpha})T_{\beta\alpha}^{\pm}} {E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i0^{+}},$$

donde$g:E_{\alpha}\mapsto g(E_{\alpha})$es una función meromórfica ?

2) Que Weinberg (implícitamente) asume la meromorficidad del$g:D\subseteq \mathbb{C}\to \mathbb{C}$La función se puede deducir más abajo en la p. 112, donde escribe que

podemos cerrar el contorno de integración para la variable de integración$E_{\alpha}$[...],

lo cual es una clara referencia al teorema del residuo , que a su vez asume meromorficidad. También Weinberg escribe en la misma página.$^1$

[...] Las funciones$g(E_{\alpha})$y$T_{\beta\alpha}^{\pm}$puede, en general, esperarse que tenga algunas singularidades en valores de$E_{\alpha}$con partes finitas [...] imaginarias [...]

Así que hay pocas dudas de que Weinberg asume la meromorficidad de$g$.

3) Por otro lado, al pie de la p. 109, Weinberg escribe$^1$

[...] Por lo tanto, debemos considerar paquetes de ondas, superposiciones$\int\! dE_{\alpha}~g(E_{\alpha})\Psi_{\alpha}$de estados, con una amplitud$g(E_{\alpha})$que no es cero y varía suavemente en un rango finito$\Delta E$de energías.[...]

Ahora, de acuerdo con el teorema de identidad para funciones holomorfas, si una función$g:D\subseteq \mathbb{C}\to \mathbb{C}$es cero en un subconjunto$S\subseteq D$que tiene un punto de acumulación$c$en el dominio$D$, después$g\equiv 0$es idénticamente cero. Sin embargo, cualquier intervalo$I\subseteq \mathbb{R}$en la línea real de longitud distinta de cero tiene puntos de acumulación. Entonces, si Weinberg en la cita anterior literalmente significa que$g$es matemáticamente cero fuera de un intervalo finito$I\subseteq \mathbb{R}$, después$g\equiv 0$sería idénticamente cero en todo el plano complejo.

Por supuesto, Weinberg no se refiere a eso. Él solo quiere decir que$g$fuera de un rango finito toma valores tan pequeños, que a la precisión$\epsilon$que estamos trabajando, no importa si incluimos la región de integración$\mathbb{R}\backslash I$, O no.

En particular, matemáticamente hablando, Weinberg solo ha probado la condición

$$\tag{3.1.12} \int_{m_{\alpha}}^{\infty} \!dE_{\alpha}~ e^{-iE_{\alpha}t} g(E_{\alpha}) \Psi^{\pm}_{\alpha}~\longrightarrow~ \int_{m_{\alpha}}^{\infty} \!dE_{\alpha}~ e^{-iE_{\alpha}t} g(E_{\alpha}) \Phi_{\alpha} ~\text{for}~ t\to\mp\infty \qquad$$

con cierta precisión$\epsilon$. Sin embargo, la precisión$\epsilon$se puede hacer arbitrariamente fino preparando paquetes de ondas cada vez más definidos$g$.

4) Si uno quisiera tener un ejemplo concreto de un$g$función, uno puede pensar en una función lorentziana (también conocida como distribución Breit-Wigner o Cauchy),

$$g(E_{\alpha}) ~=~ \frac{1}{\pi}\frac{\delta}{(E_{\alpha}-E_0)^2+\delta^2}, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}\! dE_{\alpha}~g(E_{\alpha})~=~1,$$

para elecciones apropiadas de constantes$E_0$y$\delta$.

5) Finalmente, no se debe perder de vista el objetivo principal de Weinberg en la Sección 3.1, a saber, argumentar la$\pm i0^{+}$prescripción en las ecuaciones de Lippmann-Schwinger

$$\tag{3.1.17}\Psi^{\pm}_{\alpha} ~=~\Phi_{\alpha}+\int\!d\beta\frac{T_{\beta\alpha}^{\pm}\Phi_{\beta}} {E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i0^{+}}.$$

Las ecuaciones de Lippmann-Schwinger (3.1.17) no son una aproximación y son independientes de la elección del paquete de ondas$g$.

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$^1$Para simplificar la discusión, nos hemos tomado la libertad de reemplazar el más general de Weinberg$\alpha$-integración con solo un$E_{\alpha}$-integración. Aquí

$$\tag{3.1.4} \int \!d\alpha \cdots \equiv \sum_{n_1\sigma_1n_2\sigma_2\cdots}\int d^3p_1 d^3p_2 \cdots$$

Cambiando la variable de integración de$E_{\alpha}$to momenta no resuelve el problema de OP, esencialmente porque todavía tenemos que elegir la rama de la raíz cuadrada pertinente que tiene parte real positiva, para que no nos acerque más a la comprensión de las energías negativas.