Evalúe la contribución de 111 bucles a la función de Green de 444 puntos

Question

Evalúe la contribución de 111 bucles a la función de Green de 444 puntos

Cazador

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral

\begin{matrix} (1) & I = \int \frac{d^{d} {pag}_{mi}}{(2 π)^{d}} \frac{1}{({pag}_{mi}^{2} + {metro}^{2}) ((q_{mi} - {pag}_{mi})^{2} + {metro}^{2})} \end{matrix}

$\begin{equation} I = \int \frac{d^d p_\text{E}}{(2 \pi)^d} \frac{1}{(p_\text{E}^2+m^2)((q_\text{E}-p_\text{E})^2 + m^2)} \tag{1} \end{equation}$ dónde

p_{E}

$p_\text{E}$ es el momento en el espacio euclidiano (es decir, después de haber realizado una rotación de Wick). Usando el truco de parametrización de Feynman y algo de esfuerzo, ecuación

(1)

$(1)$ Se puede escribir como:

\begin{matrix} (2) & I = \int_{0}^{1} d X \int \frac{d^{d} {pag}_{mi}^{'}}{(2 π)^{d}} \frac{1}{{[{pag}_{mi}^{' 2} + q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2}]}^{2}} \end{matrix}

$\begin{equation} I = \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int \frac{d^d p'_\text{E}}{(2 \pi)^d} \frac{1}{\left[p_\text{E}'^2 + q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right]^2} \tag{2} \end{equation}$ dónde

p_{E}^{'} = p_{E} - q (1 - x)

$p'_\text{E} = p_\text{E} - q(1-x)$ . Conozco esa ecuacion

(2)

$(2)$ es correcto como lo he verificado al verificar 2 fuentes diferentes. Ahora bien, según las dos fuentes antes mencionadas, la ecuación

(2)

$(2)$ puede escribirse evaluado como:

\begin{matrix} (3) & I = \frac{π^{d / 2}}{(2 π)^{d}} Γ (2 - d / 2) \int_{0}^{1} d X (q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})^{d / 2 - 2} \end{matrix}

$\begin{equation} I = \frac{\pi^{d/2}}{(2 \pi)^d} \Gamma(2-d/2) \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \; (q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2)^{d/2-2} \tag{3} \end{equation}$ dónde

Γ (2 - d / 2)

$\Gamma(2-d/2)$ es la función gamma . Sin embargo, no sé de dónde viene esto.

Hasta ahora, lo más cerca que he llegado es escribiendo la ecuación $(2)$ como:

\begin{matrix} (4) & I = \int_{0}^{1} d X \int \frac{d^{d} {pag}_{mi}^{'}}{(2 π)^{d}} \int_{0}^{\infty} d tu \int_{0}^{\infty} d tu {mi}^{- tu ({pag}_{mi}^{' 2} + q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})} \end{matrix}

$\begin{equation} I = \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int \frac{d^d p'_\text{E}}{(2 \pi)^d} \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}u \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}u \; e^{-u(p_\text{E}'^2 + q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 )} \tag{4} \end{equation}$ Podemos realizar la integración sobre

p_{E}^{'}

$p'_\text{E}$ mediante el uso de la integración de Gauss:

\int d^{d} {pag}_{mi} {mi}^{- tu {pag}_{mi}^{' 2}} = {(\frac{π}{tu})}^{d / 2}

$\begin{equation} \int \mathrm{d}^d p_{\text{E}} \; e^{-up'^2_{\text{E}}} = \left(\frac{\pi}{u}\right)^{d/2} \end{equation}$ Así ecuación

(4)

$(4)$ se convierte en:

\begin{matrix} (5) & I = \frac{π^{d / 2}}{(2 π)^{d}} \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{\infty} d tu \int_{0}^{\infty} d tu {tu}^{- d / 2} {mi}^{- tu (q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})} \end{matrix}

$\begin{equation} I = \frac{\pi^{d/2}}{(2 \pi)^d} \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}u \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}u \; u^{-d/2}e^{-u(q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 )} \tag{5} \end{equation}$ Ahora, dejando:

w = (q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2}) tu \Rightarrow d tu = {(q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})}^{- 1} d w

$\begin{equation} w = \left(q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right) u \Rightarrow \mathrm{d} u = \left(q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{-1} \; \mathrm{d} w \end{equation}$ y reemplazando lo anterior en la ecuación

(5)

$(5)$ rendimientos:

\begin{ecuación}\begin{alineado}I & = \frac{\pi^{d/2}}{(2 \pi)^d} \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int\limits ^\infty_0 \mathrm{d}w \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}w \; w^{-d/2}e^{-w} \left(q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{d/2-2} \\&= \frac{\pi^{d/2}}{(2 \pi)^d} \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}w \; \Gamma(1-d/2) \left(q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{d/2-2} \tag{6}\end{alineado }\end{ecuación}

$\begin{equation} \begin{aligned} I & = \frac{\pi^{d/2}}{(2 \pi)^d} \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}w \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}w \; w^{-d/2}e^{-w} \left(q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{d/2-2} \\& = \frac{\pi^{d/2}}{(2 \pi)^d} \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int\limits^\infty_0 \mathrm{d}w \; \Gamma(1-d/2) \left(q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{d/2-2} \tag{6} \end{aligned} \end{equation}$ En este punto estoy atascado. No tengo idea si los pasos tomados para llegar a la ecuación

(6)

$(6)$ son correctas, pero la ecuación

(6)

$(6)$ se parece a una ecuación

(3)

$(3)$ así que espero que lo sean. ¿Alguien podría ayudarme y decirme cómo puedo derivar la ecuación?

(3)

$(3)$ ?

JeffDror

La expresión que mencionó se conoce como "la fórmula maestra" cuando se realizan cálculos de bucle. Los libros de QFT probablemente tengan una derivación. Estoy bastante seguro de que Peskin y Schroeder lo hacen cuando introducen estas técnicas.

Cazador

@JeffDror He buscado en P&S, pero no pude encontrar nada. Tal vez me lo he perdido; Revisaré nuevamente.

Cazador

@JeffDror qué expresión en mi publicación original se conoce como "la fórmula maestra". No puedo encontrar nada en P&S que pueda resolver mi problema.

JeffDror

Me refería a la ecuación 3. Esta ecuación y sus modificaciones se derivan en la pág. 249-251. El conjunto de fórmula maestra en el espacio de Minkowski (es decir, evita la molestia de la rotación de Wick) se cita en el apéndice, página 807.

JeffDror

Además, creo que tiene un error tipográfico en su ecuación 6. No creo que necesite el extra

w

$w$ integración.

Cazador

@JeffDror Gracias por su respuesta. ¿Por qué no crees que el extra

w

$w$ ¿Es necesaria la integración? en ecuacion

(4)

$(4)$ ya estoy usando dos

u

$u$ integraciones, ¿crees que eso también está mal?

JeffDror

Lo siento, no miré con mucha atención. Asumí que había un error ya que estabas integrando sobre la misma variable dos veces. Todavía no tuve la oportunidad de seguir toda la publicación.

Cazador

@JeffDror está bien, no hay problema. Si tienes la oportunidad de echar un vistazo en algún momento en el futuro, te lo agradecería mucho.

Respuestas (2)

Evalúe la contribución de 111 bucles a la función de Green de 444 puntos

La expresión que mencionó se conoce como "la fórmula maestra" cuando se realizan cálculos de bucle. Los libros de QFT probablemente tengan una derivación. Estoy bastante seguro de que Peskin y Schroeder lo hacen cuando introducen estas técnicas.
@JeffDror He buscado en P&S, pero no pude encontrar nada. Tal vez me lo he perdido; Revisaré nuevamente.
@JeffDror qué expresión en mi publicación original se conoce como "la fórmula maestra". No puedo encontrar nada en P&S que pueda resolver mi problema.
Me refería a la ecuación 3. Esta ecuación y sus modificaciones se derivan en la pág. 249-251. El conjunto de fórmula maestra en el espacio de Minkowski (es decir, evita la molestia de la rotación de Wick) se cita en el apéndice, página 807.
Además, creo que tiene un error tipográfico en su ecuación 6. No creo que necesite el extra $w$ integración.
@JeffDror Gracias por su respuesta. ¿Por qué no crees que el extra $w$ ¿Es necesaria la integración? en ecuacion $(4)$ ya estoy usando dos $u$ integraciones, ¿crees que eso también está mal?
Lo siento, no miré con mucha atención. Asumí que había un error ya que estabas integrando sobre la misma variable dos veces. Todavía no tuve la oportunidad de seguir toda la publicación.
@JeffDror está bien, no hay problema. Si tienes la oportunidad de echar un vistazo en algún momento en el futuro, te lo agradecería mucho.

solitón · Answer 1

Puedes probar una fórmula general

\int \frac{d^{d} {pag}_{mi}}{(2 π)^{d}} \frac{({pag}_{mi}^{2})^{metro}}{({pag}_{mi}^{2} + Δ)^{norte}} = \frac{1}{(4 π)^{d / 2}} \frac{Γ (metro + d / 2) Γ (norte - metro - d / 2)}{Γ (d / 2) Γ (norte)} {(\frac{1}{Δ})}^{norte - metro - d / 2}, norte > metro + d / 2

$\int\frac{d^dp_{\mathrm{E}}}{(2\pi)^d} \frac{(p_{\mathrm{E}}^2)^m}{(p_{\mathrm{E}}^2+\Delta)^n}= \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma(m+d/2)\Gamma(n-m-d/2)}{\Gamma(d/2)\Gamma(n)} \left(\frac{1}{\Delta}\right)^{n-m-d/2},\quad n>m+d/2$ utilizando la integral de Gauss y la integral de Euler de primera clase.

Gracias, sin embargo, no estoy seguro de cómo aplicarlo al problema anterior. Según su identidad, $n=2$ y $m=0$ , de este modo: $I = \frac{1}{(4 π)^{d / 2}} \frac{Γ (d / 2) Γ (2 - d / 2)}{Γ (d / 2) Γ (2)} (Δ)^{2 - d / 2}$ $I = \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \frac{\Gamma(d/2)\Gamma(2-d/2)}{\Gamma(d/2)\Gamma(2)} (\Delta)^{2-d/2}$ que no es igual a la ecuación $(3)$ .
Y $\Delta=q_{\mathrm{E}}^2x(1-x)+m^2$ , es independiente de $p_{\mathrm{E}}$ .
Ahhh ok, por lo que se ve muy similar. ¿Qué ha pasado con el $\int\limits^1_0 \mathrm{d} x$ parte que debe ir delante de $(\Delta)^{2-d/2}$ (ver ecuación $(3)$ )?
No podemos obtener una expresión analítica de la integral (3). Para $d=4$ , (1) es log divergente.
Para $m^2=0$ , (3) se puede expresar mediante la integral de Euler.
Lo siento, tal vez estoy siendo tonto, pero todavía no entiendo cómo se produce tu identidad: $I = \frac{π^{d / 2}}{(2 π)^{d}} Γ (2 - d / 2) \int_{0}^{1} d X (q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})^{d / 2 - 2}$ $\begin{equation} I = \frac{\pi^{d/2}}{(2 \pi)^d} \Gamma(2-d/2) \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \; (q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2)^{d/2-2} \end{equation}$ Aunque se vuelve similar a esa ecuación.
El $\int_0^1d x$ se copia de (2). Los dos $I$ s no son los mismos en sus comentarios.
Sí, tienes toda la razón, no estaba prestando suficiente atención. ¡Gracias!

Cazador · Answer 2

Aunque la respuesta dada por soliton es suficiente, he encontrado una manera de evaluar explícitamente esta integral (en caso de que alguien esté interesado). Partamos de la ecuación $(2)$ en el mensaje original:

\begin{matrix} (2) & I = \int_{0}^{1} d X \int \frac{d^{d} {pag}_{mi}^{'}}{(2 π)^{d}} \frac{1}{{[{pag}_{mi}^{' 2} + q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2}]}^{2}} \end{matrix}

$\begin{equation} I = \int\limits^1_0 \mathrm{d} x \int \frac{d^d p'_\text{E}}{(2 \pi)^d} \frac{1}{\left[p_\text{E}'^2 + q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right]^2} \tag{2} \end{equation}$ Esto se puede escribir como:

I = \int_{0}^{1} d X \int \frac{d^{d} {pag}_{mi}^{'}}{(2 π)^{d}} \int_{0}^{\infty} d {tu}_{1} {mi}^{- {tu}_{1} ({pag}_{mi}^{' 2} + q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})} \int_{0}^{\infty} d {tu}_{2} {mi}^{- {tu}_{2} ({pag}_{mi}^{' 2} + q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})}

$\begin{equation} I = \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \int \frac{\mathrm{d}^d p_{\text{E}}'}{(2\pi)^d} \int\limits^\infty_0 \mathrm{d} u_1 \; e^{- u_1 \left( p_{\text{E}}'^2 + q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)} \int\limits^\infty_0 \mathrm{d} u_2 \; e^{- u_2 \left( p_{\text{E}}'^2 +q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)} \end{equation}$ La integración terminada

p_{E}^{'}

$p_{\text{E}}'$ se convierte en una integral gaussiana ordinaria:

\int d^{d} {pag}_{mi}^{'} {mi}^{- {pag}_{mi}^{' 2} ({tu}_{1} + {tu}_{2})} = {(\frac{π}{{tu}_{1} + {tu}_{2}})}^{d / 2}

$\begin{equation} \int \mathrm{d}^d p_{\text{E}}' \; e^{-p_{\text{E}}'^2(u_1+u_2)} = \left( \frac{\pi}{u_1+u_2} \right)^{d/2} \end{equation}$ y entonces:

\begin{matrix} (3) & I = \frac{1}{(4 π)^{d / 2}} \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{\infty} d {tu}_{1} \int_{0}^{\infty} d {tu}_{2} {(\frac{1}{{tu}_{1} + {tu}_{2}})}^{d / 2} {mi}^{- (q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2}) ({tu}_{1} + {tu}_{2})} \end{matrix}

$\begin{equation} I = \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \int\limits^\infty_0 \mathrm{d} u_1 \int\limits^\infty_0 \mathrm{d} u_2 \; \left(\frac{1}{u_1+u_2}\right)^{d/2} e^{- \left( q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)\left(u_1+u_2 \right)} \tag{3} \end{equation}$ Podemos hacer la siguiente sustitución:

\begin{array}{cc} {tu}_{1} = s X, & {tu}_{2} = s (1 - X) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{cc} u_1 = sx \; ,& u_2 = s(1-x) \end{array} \end{equation}$ dónde

0 < s < \infty

$0 < s < \infty$ (y por supuesto

0 < x < 1

$0 < x < 1$ ), tal que:

{tu}_{1} + {tu}_{2} = s y j = | \frac{\partial ({tu}_{1}, {tu}_{2})}{\partial (X, s)} | = s

$\begin{equation} u_1+u_2=s \; \; \; \text{and} \; \; \; J = \left|\frac{\partial(u_1,u_2)}{\partial(x,s)} \right| = s \end{equation}$ Por lo tanto, la ecuación

(3)

$(3)$ se convierte en:

I = \frac{1}{(4 π)^{d / 2}} \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{\infty} d s s^{1 - d / 2} {mi}^{- (q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2}) s}

$\begin{equation} I = \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \int\limits^\infty_0 \mathrm{d} s \; s^{1-d/2} e^{- \left( q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)s} \end{equation}$ Ahora, hacemos la sustitución:

w = (q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2}) s \Rightarrow d s = {(q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})}^{- 1} d w

$\begin{equation} w = \left( q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)s \Rightarrow \mathrm{d} s = \left( q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{-1} \mathrm{d} w \end{equation}$ tal que:

\begin{aligned} I & = \frac{1}{(4 π)^{d / 2}} \int_{0}^{1} d X \int_{0}^{\infty} d w w^{1 - d / 2} {mi}^{- w} {(q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})}^{d / 2 - 2} \\ = \frac{1}{(4 π)^{d / 2}} Γ (2 - d / 2) \int_{0}^{1} d X {(q_{mi}^{2} X (1 - X) + {metro}^{2})}^{d / 2 - 2} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} I & = \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \int\limits^\infty_0 \mathrm{d} w \; w^{1-d/2} e^{- w} \left( q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{d/2-2} \\& = \frac{1}{(4 \pi)^{d/2}} \Gamma(2-d/2) \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \; \left( q_\text{E}^2 x(1-x) + m^2 \right)^{d/2-2} \end{aligned} \end{equation}$

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