integración de espinor

Question

integración de espinor

johannes

Estoy aprendiendo métodos en el caparazón para integrales de un bucle de este artículo: Amplitudes de bucle en la teoría de calibre: enfoques analíticos modernos de Britto. A partir de la fórmula (18) se explica la integración del espinor. Primero se escribe el momento del bucle como

(yo)_{a \dot{a}} = t λ_{a} {\tilde{λ}}_{\dot{a}},

$(l)_{a\dot{a}}=t\lambda_a\tilde{\lambda}_\dot{a},$ dónde

t \in R^{+}

$t\in \mathbb{R}^+$ y

λ

$\lambda$ ,

\tilde{λ}

$\tilde{\lambda}$ son espinores con

\tilde{λ} = \bar{λ}

$\tilde{\lambda}=\bar{\lambda}$ . ¿Por qué puedo escribir?

l

$l$ ¿De este modo?

Conozco la descomposición $p=\lambda\tilde{\lambda}$ por momentos con $p^2=0$ , pero el impulso del bucle no es similar a la luz. Supongo que el Dirac-Delta en el integrando lo pone en el caparazón, pero entonces, ¿dónde está el $t$ ¿viene de?

A continuación, la integral sobre el momento del bucle se convierte en una integral sobre los espinores:

\int d^{4} yo d^{(+)} ({yo}^{2}) F (yo) = - \int_{0}^{\infty} \frac{t}{4} d t \int_{\tilde{λ} = \bar{λ}} ⟨ λ d λ ⟩ [\tilde{λ} d \tilde{λ}] F (t, λ, \tilde{λ}) .

$\int{d^4l\delta^{(+)}(l^2)f(l)}=-\int_0^\infty{\frac{t}{4}dt\int_{\tilde{\lambda}=\bar{\lambda}}{\langle\lambda \; d\lambda\rangle} [\tilde{\lambda} \; d\tilde{\lambda}] f(t,\lambda,\tilde{\lambda})}.$

¿Alguien puede dar la derivación de esta fórmula o darme una referencia donde se hace esto?

Britto hace referencia al artículo MHV Vertices And Tree Amplitudes In Gauge Theory de Cachazo, Svrcek y Witten. Pero ahí no encuentro una explicación que entienda.

Respuestas (1)

integración de espinor

Motl de Luboš · Answer 1

la descomposición $p=\lambda \tilde\lambda$ solo es válido para vectores nulos, de hecho. En las integrales de bucle, la cantidad de movimiento de bucle generalmente puede estar fuera de la estructura, pero debido a la función delta en estas integrales, solo contribuyen los valores nulos de la cantidad de movimiento, por lo que es suficiente tratar con las cantidades de movimiento nulas y se pueden factorizar en los espinores en Por aquí.

La variable $t$ es solo un factor de normalización que se debe permitir que sea arbitrario, real y positivo, porque $\lambda$ y $\tilde\lambda$ van a jugar el papel de coordenadas homogéneas por lo que no se permite distinguirlas de sus múltiplos.

La integral es solo un simple cambio de variables en el futuro cono de luz.

Las referencias correctas para estas integrales se mencionan en el documento que citó, es [28] y [29].

http://arxiv.org/abs/hep-ph/0503132
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0602178

Muchas gracias por su respuesta. Esto aclara mi confusión sobre $l=t\lambda\tilde{\lambda}$ . Sería muy bueno si pudieras explicar cómo funciona el cambio de variables en la integral. Ahí es donde todavía estoy atascado y creo que tampoco está explicado en las referencias (tal vez porque es demasiado trivial).
¡Hola! Puede hacerse con un poco de álgebra sencilla, pero también es bueno notar que ambos lados tienen el mismo soporte (son integrales sobre el futuro cono de luz) y en ambos casos, la función delta impone el soporte al cono de luz combinado con la invariancia de Lorentz determina de forma única la medida hasta la normalización (los productos de espinor son invariantes de Lorentz al igual que delta de $l^2$ ) por lo que tienen que ser iguales a la normalización que uno tiene que comprobar (o creer). La normalización puede verificarse mediante álgebra aburrida o integrando una función de ejemplo particular.

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johannes

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Motl de Luboš

johannes

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