Espacio de estado de teorías que interactúan

Para el caso más simple de interacción, el cuadrático, la representación que interactúa es, en términos generales, la de Fock, pero con una masa diferente (se demuestra que las representaciones con masas diferentes no son equivalentes en el segundo volumen del libro de Reed-Simon).

Para$(\varphi^4)_3$, con corte espacial$g(x)$, la construcción es un poco más complicada (y se puede demostrar que es independiente de la elección del corte espacial ).

Dejar

$$\Lambda_\sigma(g)=\bigl\lVert H_0^{-1}\textstyle\int :\varphi^4_\sigma:(x)g(x)d^2x\; \Omega\bigr\rVert\; ,$$ donde $\Omega$es el vacío de Fock, $:\varphi^4_\sigma:$la interacción con el corte UV. Existe una familia de transformaciones de vestir $T_{\varrho\sigma}(g)$tal que para cualquier $\psi,\psi'\in C_0^{\infty}(N,k)$(lo denotamos por $C_0^{\infty}(N,k)$el conjunto de vectores de partículas finitas con soporte compacto en el espacio de momento) existe para cualquier $\varrho,\varrho'\geq0$el límite: $$\lim_{\sigma\to\infty}\langle T_{\rho\sigma}(g)\psi,T_{\rho'\sigma}(g)\psi'\rangle e^{-\Lambda_{\sigma}(g)}=:\langle T_{\rho\infty}(g)\psi,T_{\rho'\infty}(g)\psi'\rangle_g\; .$$ El producto escalar $\langle\cdot,\cdot\rangle_g$junto con el tramo lineal $D(g)$de $\{T_{\varrho\infty}(g)\psi, \psi\in C_0^{\infty}(N,k),\varrho\geq 0\}$es un espacio de prehilbert, cuya terminación $F(g)$es el espacio de Hilbert separable de la teoría interactiva (con corte espacial). Obviamente, el espacio asintótico LSZ correspondiente es la representación habitual de Fock de $H_0$.

Para hacer una comparación entre la teoría libre y la teoría interactiva, puede tener en cuenta lo siguiente. Se piensa (pero hasta donde yo sé, no está probado) que$F(g)$es no-Fock, es decir, no es unitariamente equivalente a alguna representación de Fock (obviamente no es equivalente a la libre original, como predice el teorema de Haag; de todos modos, como dije anteriormente, las representaciones de Fock con diferentes masas no son equivalentes). Si es el caso, entonces ya puede ver una diferencia concreta entre las dos representaciones, de todos modos, la definición algo complicada de$F(g)$no ayuda a hacer una comparación detallada (la forma de la transformación del aderezo es, además, bastante complicada). Sin embargo, las fórmulas de reducción LSZ y, en general, la teoría de la dispersión pueden definirse también en este contexto, mediante la llamada teoría de la dispersión de Haag-Ruelle; puede encontrar más detalles, así como referencias bibliográficas, en el tercer volumen del libro de Reed-Simon.