Pregunta elemental sobre singularidades de punto final.

Utilice la figura 13.2 de [2] como referencia.

Tomando el ejemplo que usa Qmechanic, la idea es que

$I(\omega) = \int_{\zeta_a}^{\zeta_b}\frac{Z(\omega)}{\zeta - \xi(\omega)} d\zeta$

$I(\omega)$necesita ser continuado analíticamente desde$\omega_1 \rightarrow \omega_2$. El polo del integrando viaja desde$\zeta = \xi(\omega_1) \rightarrow \zeta = \xi(\omega_2)$en el plano complejo de$\zeta$.

En algún momento$\omega' \in (\omega_1, \omega_2)$, la expresión para$I(\omega')$ya no es válido, ya que$\xi(\omega')$cae en el contorno definido en$I(\omega)$, visto en el 3er diagrama en la Fig 13.2 a [2].

Pero, podríamos evitar toda esta situación continuando analíticamente desde$\omega_1 \rightarrow \omega_2$por un camino que evita el contorno de$I(\omega)$en total, que es lo que sucede en el segundo diagrama de la Fig. 13.2 a (segunda línea a la izquierda)[2]. Continuación analítica por este camino en$\omega$-plane da la misma función$I(\omega)$escrito arriba.

Para el camino problemático (tercer diagrama en la figura 13.2 a [2]), la continuación analítica requeriría que eludiéramos el polo de alguna manera, de modo que la nueva expresión$I'(\omega)$es una función analítica para todos los puntos$\omega \in (\omega_1, \omega_2)$.

Una manera simple de hacer esto es definir

$$I'(\omega) = \int_\mathcal{C}\frac{Z(\omega)}{\zeta - \xi(\omega)} d\zeta$$

Dónde está ahora el contorno

¿Por qué funciona esto? El integrando se define en todo$\omega \in (\omega_1, \omega_2)$y coincide con la expresión$I(\omega)$cuando$\xi(\omega)$se encuentra en la región debajo del contorno de$I(\omega)$, donde se suponía que era una función analítica para empezar.

Ahora, se puede ver fácilmente que$I'(\omega)-I(\omega) = 2\pi\iota Res(\omega_2)$

[2]: G. Sterman, Introducción a QFT, 1993; Figura 13.2 pág. 414

I) Sea dada una función meromórfica $\zeta \mapsto F_{w}(\zeta)$en el$\zeta$-plano con un solo polo (no necesariamente simple) en la posición$\zeta=\xi(w)$, dónde$\xi$es una función holomorfa , y$w\in \mathbb{C}$es un parámetro externo.

Árbitro. 1 está considerando la integral de contorno

$$\tag{A}I_{\Gamma,w} ~=~ \int_{\Gamma} \! d\zeta ~F_w(\zeta),$$ a lo largo de una curva orientada abierta $\Gamma:[a,b]\to \mathbb{C}$con condiciones de contorno $$\tag{B} \Gamma(a)~=~\zeta_a\quad\text{and}\quad \Gamma(b)~=~\zeta_b.$$

II) La integral (A) está bien definida si el polo$\xi(w)$no se encuentra en el contorno de integración$\Gamma([a,b])$.

Por otro lado, la integral (A) no cambia si deformamos el contorno de integración de$\Gamma_0$a$\Gamma_1$a través de una homotopía

$$H: [0,1] \times [a, b]\to \mathbb{C},\qquad H( 0,\cdot)~=~ \Gamma_0,\qquad H(1, \cdot)~=~ \Gamma_1,$$ $$\tag{C} H(\cdot,a)~=~\zeta_a,\qquad H(\cdot,b)~=~\zeta_b,$$ sin cruzar el polo $\xi(w)$, cf. Teorema integral de Cauchy .

III) Ahora ref. 1 está estudiando la monodromía de una singularidad de punto final, digamos en el punto final superior$\zeta_b=\xi(w_b)$. Esto significa considerar efectivamente una curva orientada cerrada$\gamma:[0,1]\to \mathbb{C}$en el$w$-avión

$$\tag{D} w~=~\gamma(t), \qquad t\in [0, 1],$$ que rodea $w_b$. Llamemos al punto de inicio y final común para $w_0\equiv w_1$.

Esto, a su vez, induce una curva cerrada.$\xi\circ \gamma$en el$\zeta$-avión

$$\tag{E} \zeta~=~\xi\circ \gamma(t), \qquad t\in [0, 1],$$ que rodea $\zeta_b$, digamos, en la dirección positiva/en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cuando vamos por la curva (E), debemos deformar/ajustar el contorno de integración$\Gamma_t\equiv H(t,\cdot)$correspondientemente para evitar que la singularidad toque el contorno de integración. La curva (E) empuja el contorno de integración$\Gamma_t\equiv H(t,\cdot)$frente a él, por así decirlo,$t\in [0, 1]$.

Después de un círculo completo, el cambio en la integral (A) se convierte en

$$\tag{F} I_{\Gamma_1,w_1}-I_{\Gamma_0,w_0} ~=~ \oint_{C(\xi(w_0))} \! d\zeta ~F_w(\zeta) ~=~ 2\pi i~Z_{w_0},$$ dónde $$\tag{G} Z_w~:=~{\rm Res}\left(F_{w},\zeta=\xi(w)\right),$$

cf. el teorema del residuo . Aquí$C(\xi(w_0))$denota un contorno cerrado simple en el$\zeta$-plano orientado en dirección positiva alrededor del punto inicial y final común$\xi(w_0)$para la curva cerrada (E).

Hacemos hincapié en que el residuo (F) se toma en el punto inicial y final común$\xi(w_0)$para la curva monodrómica cerrada (E), en lugar del punto final$\zeta_b$del contorno de integración abierto$\Gamma_0$, como puede sugerir ingenuamente el nombre de singularidad de punto final .

Referencias:

1. G. Sterman, Introducción a QFT, 1993; pag. 413-414.