Confusión con respecto a varias definiciones al definir la homología singular

Al definir la homología singular,

un singular$n$-simplex es un mapeo continuo$\sigma_n$del estándar$n$-símplex$\Delta^n$a un espacio topológico$X$. Notacionalmente, se escribe$\sigma_n:\Delta^n\to X$. Este mapeo no necesita ser inyectivo, y puede haber simples simples no equivalentes con la misma imagen en X.

el límite de$\sigma_n(\Delta^n)$, denotado como$\partial_n\sigma_n(\Delta^n)$, se define como la suma formal del singular$(n-1)$-Simples representados por la restricción de$\sigma$a las caras del estandarte$n$-símplex, con signo alterno para tener en cuenta la orientación. (Una suma formal es un elemento del grupo abeliano libre en los simples. La base del grupo es el conjunto infinito de todas las imágenes posibles de los simples estándar. La operación del grupo es "suma" y la suma de imagen ''$a$'' con imagen$b$generalmente se designa simplemente$a+b$, pero$a+a=2a$etcétera. cada imagen$a$tiene un negativo$−a$.) Así, si designamos el rango de$\sigma_n$por sus vértices

$$[p_0,p_1,\cdots,p_n]=[\sigma_n(e_0),\sigma_n(e_1),\cdots,\sigma_n(e_n)]$$

correspondiente a los vértices$e_k$de la norma$n$-símplex$\Delta^n$(que, por supuesto, no especifica completamente la imagen símplex estándar producida por$\sigma_n$), entonces

$$\partial_n\sigma_n(\Delta^n)=\sum_{k=0}^n(-1)^k [p_0,\cdots,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_n]$$

1. Así es un singular$n$-simplex un mapa, a diferencia de un simplex, que es un objeto geométrico?

2. Sobre la última fórmula y sobre la orientación: ¿por qué tenemos que alternar los signos? Supongo que está relacionado con la orientación, pero no puedo entender por qué.

3. Acerca de las dos últimas fórmulas: ¿La expresión que comienza con [ y termina con ] se refiere a objetos geométricos, como simples?