¿Distinguimos dos simples singulares si tienen distinto orden de vértices?

La respuesta es una. Aquí solo hay un mapa continuo, por lo que la respuesta es uno. En realidad, los dos mapas que mencionas son el mismo mapa.

Esta es una pregunta interesante.

Obtuvo dos respuestas que confirman que solo hay un mapa continuo en$\Delta^1$en$X$, y por supuesto esto es correcto. El estandar$n$-símplex$\Delta^n$es un espacio topológico y nada más, por lo tanto los mapas continuos que viven en$\Delta^n$no dependen de un orden de vértices.

Pero si consideramos el complejo singular completo$C_*(X) = (C_n(X), \partial_n )$de$X$, vemos que los límites$\partial_n : C_n(X) \to C_{n-1}(X)$dependen de un orden de vértice particular de$\Delta^n$. De hecho, el estándar$n$-simplex es el casco convexo del$n+1$Vectores de base estandar$e^{n+1}_0,\ldots, e^{n+1}_n$de$\mathbb R^{n+1}$. los índices$i = 0,\ldots,n$dar un orden de vértice natural de$\Delta^n$. Esto permite definir$n+1$embellecimientos faciales$\delta_i : \Delta^{n-1} \to \Delta^n$,$i = 0,\ldots,n$, por mapeo$e^n_j$a$e^{n+1}_j$para$i < j$y para$e^{n+1}_{j+1}$para$j \ge i$. Entonces definimos

Ves que los face-emdeddings$\delta_i$ depende del orden de los vértices. Uno podría considerar "simples singulares ordenados" en forma de pares$(\sigma : \Delta^n \to X, o_n)$con orden de vértices$o_n$de$\Delta^n$. Esto se puede describir en forma de una secuencia.$e^{n+1}_{i_0},\ldots, e^{n+1}_{i_n}$. Cualquier orden de este tipo induce el siguiente ordenamiento de vértices$\partial o_n$de$\Delta^{n-1}$: Alquiler$i_k = n$, nosotros tomamos$e^n_{i_0}, \ldots, e^n_{i_{k-1}},e^n_{i_{k+1}},\ldots e^n_{i_n}$. Además, se podrían definir incrustaciones de caras$(\Delta^{n-1},\partial o_n) \to (\Delta^n, o_n)$que dependen de$o_n$. Esto produciría una variante del complejo singular. No voy a explorar más esta construcción, pero estoy seguro de que los grupos de homología resultantes concuerdan con los grupos de homología singulares habituales.

En otras palabras: obtienes una construcción más complicada, pero no tienes ningún beneficio.

Por definición, el "estándar$n$-simplex" es un espacio topológico específico (generalmente definido como$\{(x_0,\dots,x_n)\in[0,1]^{n+1}:\sum x_i=1\}$). Entonces, un singular$n$-simplex es literalmente solo un mapa de este espacio topológico específico a$X$. No hay otros datos involucrados, no elegimos un orden de sus vértices. (En cambio, al igual que el estándar$n$-simplex es un espacio topológico específico, también tiene un ordenamiento canónico específico de sus vértices, dado por el ordenamiento de las coordenadas en$[0,1]^{n+1}$.) Entonces, solo hay un singular$n$-simplex en un espacio singleton.