Tensor de energía-momento y derivada covariante

Question

Tensor de energía-momento y derivada covariante

bulkilol

En la teoría de campos, el momento de la energía se define como la derivada funcional con respecto a la métrica

T_{m v} = \frac{2}{\sqrt{- gramo}} \frac{d S}{d {gramo}^{m v}}

$T_{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}}$

(hasta un signo dependiendo de las convenciones) Para una teoría en el espacio plano, esto tiene la ventaja de brindarle directamente un tensor de impulso de energía mejorado ya que la métrica es simétrica, pero también se mantiene para las métricas dinámicas.

Ahora, mi problema es el siguiente: Si tienes en tu Lagrangiano un término como $A^{\mu\nu}\nabla_\mu V^\mu$ , dónde $V^\mu$ es un campo vectorial (no es necesario que sea un campo de calibre, por ejemplo, digamos que representa la velocidad en hidrodinámica) y $A^{\mu\nu}$ un tensor arbitrario a priori que depende de cualquier cosa (métrica, $V$ , o cualquier otro campo), tendrá un símbolo de Christoffel. Si toma una derivada funcional, la expresión contendrá términos como

$\frac{\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}(x)}{\delta g^{\alpha\beta}(y)}\supset g^{\rho\sigma} \partial_\mu(g_{\nu\alpha}g_{\sigma\beta}\delta(x-y))$ +permutaciones

esos términos no se combinarán de nuevo para formar un símbolo de Christoffel. ¿Cómo se puede tomar la derivada funcional de algo covariante ( $\nabla V$ ) con respecto a algo covariante (la métrica) y terminar con algo no covariante? Para los casos de espacio plano, todo está bien ya que esos términos desaparecerán, pero para el espacio curvo, perderemos la invariancia general de covarianza/dif. ¿Que me estoy perdiendo aqui?

alex nelson

Bien,

g^{μ ν} \nabla_{μ} V_{ν}

$g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}V_{\nu}$ parece un término límite, por lo que no contribuiría a un Lagrangiano. Este es un punto menor estúpido, pero tal vez

\nabla_{μ} V_{ν} \nabla^{μ} V^{ν}

$\nabla_{\mu}V_{\nu}\nabla^{\mu}V^{\nu}$ seria mejor...

bulkilol

sí, de hecho, estaba pensando en un derivado de un vector que aparece en la acción. edité

prahar

Tenga en cuenta que

δ Γ_{μ ν}^{λ}

$\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ es tensor. Precisamente

δ Γ_{μ ν}^{λ} = \frac{1}{2} g^{λ ρ} (\nabla_{μ} δ g_{ρ ν} + \nabla_{ν} δ g_{μ ρ} - \nabla_{ρ} δ g_{μ ν})

$\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda \rho} \left( \nabla_\mu \delta g_{\rho \nu} + \nabla_\nu \delta g_{\mu \rho} - \nabla_\rho\delta g_{\mu\nu } \right)$ .

Respuestas (1)

Tensor de energía-momento y derivada covariante

Bien, $g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}V_{\nu}$ parece un término límite, por lo que no contribuiría a un Lagrangiano. Este es un punto menor estúpido, pero tal vez $\nabla_{\mu}V_{\nu}\nabla^{\mu}V^{\nu}$ seria mejor...
sí, de hecho, estaba pensando en un derivado de un vector que aparece en la acción. edité
Tenga en cuenta que $\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ es tensor. Precisamente $\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda \rho} \left( \nabla_\mu \delta g_{\rho \nu} + \nabla_\nu \delta g_{\mu \rho} - \nabla_\rho\delta g_{\mu\nu } \right)$ .

bulkilol · Answer 1

@Prahar tiene razón, la variación del símbolo de Christoffel es un tensor, incluso si el propio Christoffel no lo es. Tenemos

$\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\delta\bigg(g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha g_{\mu\nu})\bigg)=\frac{1}{2}\delta g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha g_{\mu\nu})+ \frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha \delta g_{\mu\nu})$

dónde $A_{(\mu\nu)}=\frac{1}{2}(A_{\mu\nu}+A_{\nu\mu})$ . Usando $\delta g^{\rho\alpha}=-g^{\rho\gamma}g^{\alpha\delta}\delta g_{\gamma\delta}$ tenemos:

$\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha \delta g_{\mu\nu}-2\Gamma_{\mu\nu}^\beta\delta g_{\alpha\beta})$

El Christoffel luego se combina muy bien con la derivada estándar para dar un tensor covariante (los otros símbolos de Christoffel se cancelan entre sí)

$\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\nabla_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\nabla_\alpha \delta g_{\mu\nu})$ .

Entonces, para responder a la pregunta original, finalmente tenemos:

$\nabla_\mu V_\nu=\nabla_\mu \delta V_\nu-\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\nabla_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\nabla_\alpha \delta g_{\mu\nu})A_\rho$

Recuerde que no asumimos nada en $V_\mu$ . Dependiendo del problema, entonces es posible integrar por partes para aislar $\delta g_{\mu\nu}$ y obtener el tensor de momento de energía.

Tensor de energía-momento y derivada covariante

bulkilol

alex nelson

bulkilol

prahar

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bulkilol

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