Ecuación de Einstein y tensor de tensión-energía de campo escalar

Question

Ecuación de Einstein y tensor de tensión-energía de campo escalar

Física
relatividad general
formalismo lagrangiano
principio variacional
deberes-y-ejercicios
tensión-energía-momentum-tensor

andres macaddams

Tengamos una interacción entre campos reales gravitacionales y escalares. Para una acción del campo gravitacional en el vacío agrego el término $S_{m} = \int d^{4}x\sqrt{-g}L_{m}$ , dónde

L_{metro} = \frac{1}{2} {gramo}^{m v} \partial_{m} φ \partial_{v} φ - V (φ)

$L_{m} = \frac{1}{2}g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu} \varphi - V(\varphi )$ Entonces la variación

δ S_{m}

$\delta S_{m}$ debes dar

\frac{1}{2} \int d^{4} x \sqrt{- g} δ (g^{μ ν}) T_{μ ν}

$\frac{1}{2}\int d^{4}x \sqrt{-g}\delta (g^{\mu \nu})T_{\mu \nu}$ , dónde

T_{μ ν}

$T_{\mu \nu}$ se refiere al tensor tensión-energía del campo real escalar. Intenté hacerlo, pero esto me lleva a la respuesta.

d S_{metro} = \int d^{4} X d (\sqrt{- gramo}) L_{metro} +

$\delta S_{m} = \int d^{4}x\delta (\sqrt{-g})L_{m} +$

+ \int d^{4} X \sqrt{- gramo} (\frac{1}{2} d ({gramo}^{m v}) \partial_{m} φ \partial_{v} φ - {gramo}^{m v} \partial_{m} φ \partial_{v} d φ - \frac{\partial V (φ)}{\partial φ} d φ) =

$+\int d^{4}x \sqrt{-g}\left(\frac{1}{2}\delta (g^{\mu \nu})\partial_{\mu} \varphi \partial_{\nu} \varphi - g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu} \delta \varphi - \frac{\partial V( \varphi )}{\partial \varphi }\delta \varphi\right)=$

= \frac{1}{2} \int d^{4} X \sqrt{- gramo} d ({gramo}^{m v}) T_{m v} + \int d^{4} X \sqrt{- gramo} ({gramo}^{m v} \partial_{m} φ \partial_{v} d φ - \frac{\partial V (φ)}{\partial φ} d φ) .

$=\frac{1}{2}\int d^{4}x\sqrt{-g}\delta (g^{\mu \nu})T_{\mu \nu} + \int d^{4}x\sqrt{-g}\left( g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu} \delta \varphi - \frac{\partial V( \varphi )}{\partial \varphi }\delta \varphi\right).$ ¿Qué hacer con la segunda integral? ¿Es igual a cero según la ecuación de Euler-Lagrange, o no puedo decirlo?

jerry schirmer

Solo una objeción, pero debería usar derivados covariantes en su acción. No importa para las primeras integrales, pero si desea integrar por partes y obtener el EOM para su campo de klein-gordon, lo tendrá mucho más fácil si todo es covariante.

andres macaddams

@JerrySchirmer: sí, estoy de acuerdo. Usé la derivada no covariante solo porque trabajé con la función escalar.

Respuestas (2)

Ecuación de Einstein y tensor de tensión-energía de campo escalar

Solo una objeción, pero debería usar derivados covariantes en su acción. No importa para las primeras integrales, pero si desea integrar por partes y obtener el EOM para su campo de klein-gordon, lo tendrá mucho más fácil si todo es covariante.
@JerrySchirmer: sí, estoy de acuerdo. Usé la derivada no covariante solo porque trabajé con la función escalar.

joshfísica · Answer 1

La expresión para $\delta S_m$ que está esperando retenciones siempre que la variación que está realizando es la variación con respecto a la métrica inversa solamente; No debería haber $\delta\varphi$ términos. En otras palabras; colocar $\delta\varphi = 0$ , y obtienes la expresión deseada.

Véase, por ejemplo, Carroll Spacetime and Geometry p.164, hace el mismo cálculo y comenta explícitamente

"Ahora varíe esta acción con respeto, no para $\phi$ , sino a la métrica inversa..."

De hecho, en términos generales, el tensor de tensión se define como proporcional a la derivada funcional de la acción con respecto a la métrica inversa;

\begin{aligned} T_{m v} = - 2 \frac{1}{\sqrt{- gramo}} \frac{d S}{d {gramo}^{m v}} \end{aligned}

$\begin{align} T_{\mu\nu} = -2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}} \end{align}$

usuario91126 · Answer 2

usuario91126

Las variaciones de la acción deben realizarse con respecto al campo del que se quieren obtener las ecuaciones de movimiento. Has variado con respecto al campo métrico y el $\phi$ campo al mismo tiempo. Lo que has hecho no es estrictamente incorrecto, ya que las variaciones son independientes, pero te confundieron. De hecho, no está seguro de cómo comportarse. Sin embargo, puede aplicar la ecuación de Euler-Lagrange para el campo $\phi$ y luego llegar a la conclusión (así como poner $\delta \phi = 0$ ya que no estás variando con respecto a $\phi$ ).

andres macaddams

Gracias por la respuesta. Pero creo que tu segunda igualdad tiene el signo equivocado:

{gramo}_{m v} {gramo}^{m v} = 4 \Rightarrow d ({gramo}_{m v} {gramo}^{m v}) = 0 \Rightarrow {gramo}_{m v} d {gramo}^{m v} = - {gramo}^{m v} d {gramo}_{m v} .

$g_{\mu \nu}g^{\mu \nu} = 4 \Rightarrow \delta(g_{\mu \nu}g^{\mu \nu}) = 0 \Rightarrow g_{\mu \nu}\delta g^{\mu \nu} = -g^{\mu \nu}\delta g_{\mu \nu}.$

usuario91126

Tienes razón, lo siento. lo he arreglado

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andres macaddams

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andres macaddams

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