Tensor de energía-momentum de Matter Field Action

Actualmente estoy en el proceso de familiarizarme con algunos conceptos básicos de la relatividad general y me he topado con un problema que probablemente sea bastante simple. Me refiero al libro de Hobson, p.541 y 548, donde el tensor de energía-momentum para una acción de campo de materia simple$S$,

$$T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-\det g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},$$ se calcula como un ejemplo:

$$S = \int d^4x\sqrt{-\det g}(\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi)-V(\Phi))$$ $$\delta(\det g) = \det g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = -\det g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} \Rightarrow \delta\sqrt{-\det g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-\det g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$ $$\begin{eqnarray} \delta S &=& \int d^4x[\sqrt{-\det g}\frac{1}{2}\delta g^{\mu\nu}(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi) + \delta(\sqrt{-\det g})(\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}(\nabla_\alpha \Phi)(\nabla_\beta \Phi)-V(\Phi))] \\ &=& \int d^4x\sqrt{-\det g}\frac{1}{2}[(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi) -g_{\mu\nu}(\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}(\nabla_\alpha \Phi)(\nabla_\beta \Phi)-V(\Phi))]\delta g^{\mu\nu} \end{eqnarray}$$

y uno tiene$T_{\mu\nu} = [...]_{\mu\nu}$

Mi problema ahora es: si calculo

$$T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-\det g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$$ De la misma manera, usando el primer término para $\delta\sqrt{-\det g}$en lugar del segundo, encuentro el mismo término para $T$como antes (con los índices hacia arriba, por supuesto), pero con un más en lugar de un menos entre el término derivado y el término lagrangiano en $T$.

Pero esto está mal, ¿no? Entonces, ¿qué estoy haciendo mal?