Símbolos de Christoffel de la ecuación geodésica para una métrica con elementos no diagonales

Question

Símbolos de Christoffel de la ecuación geodésica para una métrica con elementos no diagonales

El único

En el caso de una métrica diagonal,

\begin{aligned} d s^{2} = {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d}{x}^\mu\mathrm{d}{x}^\nu, \end{align}$ es relativamente sencillo encontrar los símbolos de Christoffel comparando la ecuación de Euler-Lagrange

\begin{aligned} \frac{d}{d τ} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{m}}) - \frac{\partial L}{\partial X^{m}} = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}=0, \end{align}$ dónde

L = \frac{1}{2} g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$L=\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ y

{\dot{x}}^{μ} = d x^{μ} / d τ

$\dot x^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau$ , a la ecuación geodésica

\begin{aligned} {\ddot{X}}^{m} + Γ_{ρ σ}^{m} {\dot{X}}^{ρ} {\dot{X}}^{σ} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}^\mu+\Gamma_{\rho\sigma}^\mu\dot x^\rho\dot x^\sigma=0. \end{align}$

Sin embargo, esto se vuelve menos sencillo para una métrica con términos no diagonales. Los términos cruzados adicionales en el elemento de línea harán que no aparezca uno sino dos términos derivados de segundo orden en la ecuación de Euler-Lagrange, lo que hace que una comparación directa con la ecuación geodésica sea menos perspicaz.

Considere con fines ilustrativos una métrica bidimensional

\begin{aligned} d s^{2} = F d t^{2} + gramo d t d r + h d r^{2}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{d}s^2=f\mathrm{d}t^2+g\mathrm{d}t\mathrm{d}r+h\mathrm{d}r^2, \end{align}$ con funciones arbitrarias

f = f (t, r), g = g (t, r), h = h (t, r)

$f=f(t,r),g=g(t,r),h=h(t,r)$ .

En este caso el $\mu=t$ y $\mu=r$ componentes dan para las ecuaciones de Euler-Lagrange respectivamente

\begin{aligned} 2 F \ddot{t} + gramo \ddot{r} + 2 (\frac{\partial F}{\partial t} \dot{t} + \frac{\partial F}{\partial r} \dot{r}) \dot{t} + (\frac{\partial gramo}{\partial t} \dot{t} + \frac{\partial gramo}{\partial r} \dot{r}) \dot{r} - \frac{\partial F}{\partial t} {\dot{t}}^{2} - \frac{\partial gramo}{\partial t} \dot{t} \dot{r} - \frac{\partial h}{\partial t} {\dot{r}}^{2} = 0 \\ 2 h \ddot{r} + gramo \ddot{t} + 2 (\frac{\partial h}{\partial t} \dot{t} + \frac{\partial h}{\partial r} \dot{r}) \dot{r} + (\frac{\partial gramo}{\partial t} \dot{t} + \frac{\partial gramo}{\partial r} \dot{r}) \dot{t} - \frac{\partial F}{\partial r} {\dot{t}}^{2} - \frac{\partial gramo}{\partial r} \dot{t} \dot{r} - \frac{\partial h}{\partial r} {\dot{r}}^{2} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} 2f\ddot t+g\ddot r+2\left(\frac{\partial f}{\partial t}\dot t+\frac{\partial f}{\partial r}\dot r\right)\dot t+\left(\frac{\partial g}{\partial t}\dot t+\frac{\partial g}{\partial r}\dot r\right)\dot r-\frac{\partial f}{\partial t}\dot t^2-\frac{\partial g}{\partial t}\dot t\dot r-\frac{\partial h}{\partial t}\dot r^2=0\\ 2h\ddot r+g\ddot t+2\left(\frac{\partial h}{\partial t}\dot t+\frac{\partial h}{\partial r}\dot r\right)\dot r+\left(\frac{\partial g}{\partial t}\dot t+\frac{\partial g}{\partial r}\dot r\right)\dot t-\frac{\partial f}{\partial r}\dot t^2-\frac{\partial g}{\partial r}\dot t\dot r-\frac{\partial h}{\partial r}\dot r^2=0. \end{align}$

Ahora el adicional $g\ddot r$ en el primero y $g\ddot t$ en la segunda ecuación prohibir una comparación directa con la ecuación geodésica y posteriormente encontrar los símbolos de Christoffel.

¿Cómo encontramos en general los símbolos de Christoffel para una métrica con términos no diagonales de esta manera? ¿Es tan simple como sustituir una ecuación de Euler-Lagrange en la otra para eliminar cualquiera de los términos derivados de segundo orden?

qmecanico

¿Son sus símbolos de Christoffel diferentes de los símbolos de Levi-Civita Christoffel?

mike piedra

¿Por qué no resuelves cómo la ecuación

{\ddot{x}}^{μ} + Γ_{ρ σ}^{μ} {\dot{x}}^{ρ} {\dot{x}}^{σ}

$\ddot x^\mu+\Gamma^\mu_{\rho \sigma} \dot x^\rho \dot x^\sigma$ surge como la ecuación de Euler Langrange de

\int d τ g_{m u ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\int d\tau g_{mu\nu} \dot x^\mu\dot x^\nu$ . Eso responderá tu pregunta por ti. (Sugerencia: utilice

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ )

Respuestas (3)

Símbolos de Christoffel de la ecuación geodésica para una métrica con elementos no diagonales

¿Son sus símbolos de Christoffel diferentes de los símbolos de Levi-Civita Christoffel?
¿Por qué no resuelves cómo la ecuación $\ddot x^\mu+\Gamma^\mu_{\rho \sigma} \dot x^\rho \dot x^\sigma$ surge como la ecuación de Euler Langrange de $\int d\tau g_{mu\nu} \dot x^\mu\dot x^\nu$ . Eso responderá tu pregunta por ti. (Sugerencia: utilice $g^{\mu\nu}$ )

Aylón Pinto · Answer 1

Si asumimos que no hay torsión y compatibilidad métrica con la conexión ( $\nabla_{\mu}g_{\alpha\beta}=0$ ) existe la fórmula de:

Γ_{α β}^{m} = \frac{1}{2} {gramo}^{m ρ} (\partial_{α} {gramo}_{ρ β} + \partial_{β} {gramo}_{ρ α} - \partial_{ρ} {gramo}_{α β})

$\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\mu\rho}(\partial_{\alpha}g_{\rho\beta}+\partial_{\beta}g_{\rho\alpha}-\partial_{\rho}g_{\alpha\beta})$

Tu ecuación geodésica no es del todo correcta. debería tener un $\Gamma^\mu_{\rho \sigma}$ . Pero más concretamente, ¿qué quiere decir con la primera ecuación geodésica que solo se cumple para una "métrica diagonal"? La ecuación geodésica es la ecuación de Euler Lagrange. tu original $g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ es bastante general y no "diagonal".
Quiero decir que la ecuación geodésica es la ecuación de Euler Lagrange para $\int d\tau g_{\mu,\nu}(x) \dot x^\mu \dot x^\nu$ . Si no lo entiendes, estás cometiendo un error.
Sí. ¡Lo siento! ¡Quise comentar la pregunta, no tu respuesta!
Es cierto que hay un tipo en mi ecuación geodésica, lo cambiaré, gracias por notarlo. Lo que quise decir es que la ecuación geodésica ahora ya no tiene la forma en que la escribí debido a que ahora hay dos términos de una derivada de segundo orden, por lo que ya no se pueden leer fácilmente los símbolos de Christoffel. Además, la ecuación que escribió Aylon Pinto funciona muy bien si está buscando un símbolo de Christoffel específico, pero se vuelve muy elaborada si quiere encontrarlos todos (incluidos los que se desvanecen) ya que son 64 ecuaciones para un espacio-tiempo 4D.
Hasta donde yo sé, esta es la única forma general del símbolo de Christoffel. También la ecuación geodésica $\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\rho\sigma}^\mu\dot x^\rho\dot x^\sigma=0$ es también la ecuación geodésica general en coordenadas ya que se deriva del transporte paralelo utilizando la derivada covariante. Así que realmente no entiendo lo que quieres saber en este momento.
De hecho, creo que este es el único otro método para encontrar los símbolos de Christoffel, y probablemente la forma más efectiva en el caso de una métrica con términos no diagonales.

PJ_Finnegan · Answer 2

Puedes introducir los símbolos de Christoffel alternativamente mediante el transporte paralelo y la derivada covariante.
La geodésica se caracteriza por su velocidad normalizada $dx^{i}/ds$ siendo transportado en paralelo (es decir, es constante en magnitud y dirección bajo la métrica), lo que significa que su derivada covariante desaparece.
Puede calcular las ecuaciones diferenciales geodésicas a partir de esto, y los símbolos de Christoffel aparecerán a través de la derivada covariante.

jerry schirmer · Answer 3

Si REALMENTE desea resolver los símbolos de Christoffel de esta manera, básicamente siempre terminará con un montón de términos de segunda derivada y un montón de productos de términos de primera derivada. Siempre puede factorizarlos en una matriz de 4x4 $A_{ij}$ para que sus cuatro ecuaciones de variación se vean como

$A_{ij}\frac{d^{2}x^{i}}{ds^{2}} = \left({\rm products\, of\, first\, derivative\, terms}\right)_j$

Luego, simplemente invierta la matriz A y tendrá sus cuatro ecuaciones geodésicas.

Sin embargo, será menos trabajo usar la fórmula general para los símbolos de Christoffel, excepto quizás en algunos casos muy especializados.

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