¿Encontrar el tensor métrico de la ecuación de campo de Einstein?

Esto es realmente un comentario, pero se hizo un poco largo para el campo de comentarios.

Supongo que, como yo, su experiencia en física es de un área donde resolver ecuaciones diferenciales es una parte rutinaria del trabajo. Estamos acostumbrados a analizar un problema, escribir una ecuación diferencial que encapsule la física y resolverla, analíticamente si tenemos suerte o, en el peor de los casos, arrojándola a una computadora.

Lo que me llamó la atención cuando comencé a leer sobre GR es que casi nunca se utiliza este enfoque. Las ecuaciones son tan difíciles que en casi todos los casos la métrica se obtiene ya sea mediante el uso ingenioso de la simetría o simplemente adivinando las respuestas hasta que una encaja. Si lee la derivación de la métrica de Schwartzschild, que es probablemente la más simple que conocemos la mayoría de nosotros, Schwarzschild obtuvo la respuesta adivinando una forma básica para la métrica y luego usando la alta simetría para eliminar todas las posibilidades menos una. Kerr parece haber llegado como resultado de conjeturas inspiradas (¡aunque inspiradas por una gran cantidad de esfuerzo!).

Todo esto se siente de alguna manera insatisfactorio para nosotros, los físicos de cobertura. Se siente como si los relativistas generales simplemente hicieran trampa todo el tiempo y nunca hicieran las cosas metódicamente como lo hacemos nosotros. Esa es una impresión injusta, por supuesto, y nacida de la ignorancia, pero, sin embargo, estoy dispuesto a apostar que así es como te sentirás cuando comiences a leer sobre el tema.

Si desea comenzar a aprender GR con ira, le recomiendo encarecidamente Un primer curso de relatividad general de Bernard Schutz. Esto lo llevará desde un punto de partida de conocimiento de cálculo básico hasta el punto en el que se sienta cómodo haciendo cálculos GR básicos. Tenga en cuenta, sin embargo, que incluso después de 376 páginas, todavía no habrá visto la ecuación de Einstein escrita en su totalidad.

Si tiene una métrica, entonces también tiene la variedad en sí y todos los puntos que contiene, y puede usar la métrica para calcular el tensor de Einstein en cada punto y luego multiplicar por una constante escalar para obtener el tensor de tensión-energía ( suponiendo que conoce el valor de su constante cosmológica).

Pero la dirección inversa es muy diferente. Por ejemplo, si comenzó con la variedad (pero nadie le dio la métrica, solo el espacio topológico) y luego tuvo un tensor de tensión-energía definido en cada punto de su variedad, ya tiene mucho ya que tiene la variedad. . Entonces, esto podría ser demasiada información y se consideraría una trampa. Pero también puede ser muy poca información. El tensor de tensión-energía es el término fuente, es como en el electromagnetismo si alguien te da la carga y la corriente, eso no es suficiente para encontrar los campos, también necesitas condiciones de contorno.

Veamos un ejemplo simple pero problemático. tu multiplicidad es$\mathbb{R}^4$, su tensor de tensión-energía es$T_{\mu \nu}=0$. Hay muchas métricas posibles. Podrías tener una métrica correspondiente a una onda gravitacional que viaja a la izquierda, otra a la derecha, una hacia arriba, una hacia abajo, una hacia adelante y otra hacia atrás. O simplemente un espacio plano vacío sin ondas gravitacionales, el espacio-tiempo de la relatividad especial. Esto es totalmente similar a la situación correspondiente en el electromagnetismo cuando no hay carga ni corriente, es posible que no haya campos, o podría tener una onda electromagnética yendo en cualquier dirección. Simplemente no es suficiente información.

El procedimiento estándar para encontrar los componentes del tensor métrico tiene los siguientes pasos.

1. Adivine una fórmula de prueba para la evolución dinámica de los componentes del tensor métrico ($g_{\mu\nu}$), considerando las simetrías que posee su sistema dado. La fórmula de prueba debe incluir suficientes parámetros desconocidos.
2. Calcule los coeficientes de conexión a partir de su fórmula de prueba.
3. Calcule los componentes del tensor de curvatura de Riemann a partir de los coeficientes de conexión.
4. Calcular las componentes del tensor de Einstein a partir del tensor de Riemann.
5. Sustituya el tensor de Einstein en la ecuación de campo de Einstein.
6. Al hacer coincidir las condiciones de contorno (el espacio-tiempo se vuelve plano en el infinito) y encuentre los parámetros desconocidos que había establecido en su tensor métrico anteriormente.
7. Si encuentra una solución para el tensor métrico que satisface la ecuación de Einstein y también la condición de frontera, entonces la solución que obtuvo es la solución correcta. Si no, cambie la versión de prueba y repita los pasos anteriores.

Como puede ver, el procedimiento depende en gran medida de adivinanzas (educadas). Por lo tanto, no se puede aplicar a una situación en la que el espacio-tiempo carezca de simetría. Por esta razón, no tenemos muchas soluciones analíticas para la ecuación de Einstein.