Cuando usamos el método de variación de acción para establecer la ecuación de campo GR en uno de los pasos, usamos el teorema de Stock en una variedad arbitraria para mostrar que uno de los términos no contribuye en nada a la variación con respecto a la métrica inversa. Véase, por ejemplo, la entrada de Wikipedia sobre la acción de Einstein-Hilbert .
La mayoría de los textos que leo, sin escribir los pasos reales de los cálculos, simplemente dicen que la variación en el infinito se desvanece y, por lo tanto, el término mencionado anteriormente se desvanece.
¿Puede alguien hacer el cálculo real que involucra la aplicación del teorema de Stoke para una variedad arbitraria aquí, que no veo en los libros de texto, ya que estoy confundido, en particular, estamos asumiendo que la variación de la métrica inversa o su derivada covariante es cero en infinitas coordenadas temporales o espaciales?
El año pasado me inscribí en un curso de GR y tenía que presentar un seminario sobre el formalismo ADM, y muchas cosas me desconcertaron. Lo que estás preguntando era uno de ellos.
Al derivar la acción de Einstein-Hilbert, el procedimiento estándar es ignorar los términos de frontera sin decir por qué. El hecho es que si el espacio no tiene límites o tiene condiciones de contorno definidas, esta contribución puede desaparecer, pero esa no es la regla general: como la métrica debe permanecer sin degenerar, no todos sus componentes pueden llegar a cero en cualquier límite. Como esto nos desconcierta a usted y a mí, también desconcertó a personas como Hawking y York, y su conclusión fue que, en general, la acción apropiada no es la de Einstein-Hilbert, sino la que hoy llamamos la acción de Gibbons-Hawking- York . Es simplemente la acción de Einstein-Hilbert más un término límite que está intrínsecamente (e inevitablemente) conectado al formalismo ADM de GR, ya que depende de la métrica inducida y el tensor de curvatura extrínseco.
En resumen: si está ansioso por deshacerse de la contribución límite, está en el camino correcto: es una simplificación falsa, y esos términos son muy importantes en muchas áreas. De hecho, además del formalismo ADM y los infinitos asintóticos, el libro de Bojowald menciona que los términos de frontera en GR están asociados a la criticidad simétrica. Como no trabajo con GR, no estoy seguro de cuán importantes son esos temas, pero probablemente lo suficientemente importantes como para que lea un poco sobre esos términos de límites. Bojowald fue la mejor referencia que encontré cuando estaba estudiando este tema.
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