La acción de Einstein-Hilbert no produce los mismos resultados que las ecuaciones de campo de Einstein para una métrica dada

Question

La acción de Einstein-Hilbert no produce los mismos resultados que las ecuaciones de campo de Einstein para una métrica dada

usuario195583

Estoy tratando de derivar las ecuaciones de movimiento de segundo orden para una variable métrica utilizando dos enfoques: las ecuaciones formales de campo de Einstein en el vacío (con $T_{\mu\nu}=0$ )

{GRAMO}_{m v} = R_{m v} - \frac{1}{2} {gramo}_{m v} R = 0

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R = 0$

y usando la acción de Einstein-Hilbert

S = \frac{1}{dieciséis π GRAMO} \int d^{4} X \sqrt{- gramo} R

$S= \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \sqrt{-g} R$

para la siguiente métrica genérica

d s^{2} = - F (r) d t^{2} + \frac{1}{F (r)} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}) .

$ds^2 = -f(r) dt^2 + \frac{1}{f(r)}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2).$

Esta métrica satisface la ecuación de vacío de Einstein, por lo que las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) deben coincidir con las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas mediante la acción de Einstein-Hilbert (EH). Sin embargo, éste no es el caso. En particular, usando los EFE, podemos derivar 2 ecuaciones diferenciales independientes que la función métrica $f(r)$ tiene que satisfacer, y son

$(\mu\nu) = (tt): G_{tt}=\frac{f(r)}{r^2}\left(-1 + f(r) + r f'(r)\right) =0$

$(\mu\nu) = (\theta\theta): G_{\theta\theta}=\frac{1}{2r}\left(2f'(r) + r f''(r)\right) =0$

mientras $G_{rr} = -\frac{1}{f^2(r)} G_{tt}$ y $G_{\phi\phi} = \sin^2\theta G_{\theta\theta}$ . Entonces, de los EFE, tenemos 2 ecuaciones diferenciales para resolver, y la solución puede verificarse directamente que es

$f(r) = 1 - \frac{2 GM}{r}$

lo que significa que tenemos la métrica de Schwarzschild.

Por otro lado, si partimos de la acción de Einstein-Hilbert (EH),

$S_{EH} = \frac{1}{16\pi G}\int d^4x \mathcal L$ con $\mathcal L= \sqrt{-g} R =- \sin\theta\left(-2 + 2f(r) + 4r f'(r) + r^2 f''(r)\right)$

y use la variación de Euler-Lagrange para derivar las ecuaciones diferenciales que deben obedecer $f(r)$ , tenemos como máximo una ecuación, no dos. (También necesitamos convertir el término que contiene $f''(r)$ en $f'(r)$ usando integral por partes tal que $\mathcal L$ contiene como máximo $f'(r)$ en derivados). La única variable de campo aquí es $f(r)$ , por lo que solo hay una ecuación de Euler-Lagrange posible, y es

$\frac{\partial\mathcal L}{\partial f(r)} - \partial_r\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial f'(r)}\right) = 0$

Entonces, no hay forma de que podamos recuperar las dos ecuaciones diferenciales resultantes de las EFE usando la acción EH, según este análisis. Este aparente rompecabezas persiste con todas las formas de métricas, no solo con la simple utilizada en este ejemplo anterior. En general, utilizando la acción EH con la variación de Euler-Lagrange, el número de ecuaciones derivadas siempre es menor que el número de ecuaciones obtenidas utilizando las EFE.

Sospecho que he pasado por alto algo básico aquí, y agradecería mucho si alguien pudiera indicarme alguna respuesta.

fénix87

no esta la ecuacion

\partial_{θ} L = 0

$\partial_\theta \mathcal L = 0$ ¿también?

usuario195583

No, porque no hay variable de campo dependiendo de

θ

$\theta$ , es decir, no

f (θ)

$f(\theta)$ .

fénix87

te das cuenta de que tienes que llevar la variación de la escritura lagrangiana al campo

g

$g$ , ¿Sí? Cuando lo haces, recuperas las ecuaciones de Einsten.

usuario195583

El "campo" g al que te refieres aquí es la función métrica f(r). La métrica se caracteriza aquí sólo por una función f(r).

Nadie

¡Tu lagrangiano depende de las segundas derivadas de la función métrica! ¡Cuidado con las ecuaciones de Euler Lagrange!

usuario195583

Sí, eso es cierto, es por eso que puse un comentario sobre la integral por partes para convertir f''(r) en f'(r). Por ejemplo podemos tener

r^{2} f^{″} (r)

$r^2 f''(r)$ convertido en

- 2 r f^{'} (r)

$-2r f'(r)$ después de descartar el término límite, pero eso aún no resuelve el problema de que el número de ecuaciones resultantes sea más pequeño de lo esperado.

Casper

Tomando la derivada de

G_{t t}

$G_{tt}$ produce el

G_{θ θ}

$G_{\theta\theta}$ ecuación, por lo que solo tienes una ecuación real

usuario195583

Así es ! Muchas gracias.

Respuestas (4)

La acción de Einstein-Hilbert no produce los mismos resultados que las ecuaciones de campo de Einstein para una métrica dada

no esta la ecuacion $\partial_\theta \mathcal L = 0$ ¿también?
No, porque no hay variable de campo dependiendo de $\theta$ , es decir, no $f(\theta)$ .
te das cuenta de que tienes que llevar la variación de la escritura lagrangiana al campo $g$ , ¿Sí? Cuando lo haces, recuperas las ecuaciones de Einsten.
El "campo" g al que te refieres aquí es la función métrica f(r). La métrica se caracteriza aquí sólo por una función f(r).
¡Tu lagrangiano depende de las segundas derivadas de la función métrica! ¡Cuidado con las ecuaciones de Euler Lagrange!
Sí, eso es cierto, es por eso que puse un comentario sobre la integral por partes para convertir f''(r) en f'(r). Por ejemplo podemos tener $r^2 f''(r)$ convertido en $-2r f'(r)$ después de descartar el término límite, pero eso aún no resuelve el problema de que el número de ecuaciones resultantes sea más pequeño de lo esperado.
Tomando la derivada de $G_{tt}$ produce el $G_{\theta\theta}$ ecuación, por lo que solo tienes una ecuación real

Casper · Answer 1

Hay 10 componentes independientes de la métrica y 10 ecuaciones de campo de Einstein. A primera vista parecen coincidir, 10 ecuaciones para 10 incógnitas.

Sin embargo, resulta que 4 de los EFE son, de hecho, no dinámicos. Una manera fácil de ver esto parte del hecho de que el tensor de Einstein no tiene divergencias. $\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0$ . Podemos reescribir esto como

\partial_{0} {GRAMO}^{0 v} = - \partial_{i} {GRAMO}^{i v} - Γ_{m k}^{v} {GRAMO}^{m k} - Γ_{m k}^{m} {GRAMO}^{k v}

$\partial_0 G^{0\nu} = - \partial_i G^{i\nu} - \Gamma^{\nu}_{\mu\kappa}G^{\mu\kappa} - \Gamma^{\mu}_{\mu\kappa} G^{\kappa\nu}$

Dado que el lado derecho contiene como máximo las segundas derivadas con respecto al tiempo de la métrica, $G^{0\nu}$ puede contener como mucho primeras derivadas con respecto al tiempo de la métrica. Por lo tanto, estos componentes no son ecuaciones dinámicas, sino que expresan una restricción sobre las condiciones iniciales que las otras ecuaciones deben cumplir.

Eso parecería implicar que las ecuaciones de Einstein están subdeterminadas, pero no debemos olvidar que también hay cuatro grados de libertad al elegir un indicador para la métrica, la libertad que tenemos para elegir nuestras coordenadas.

Dado que su Ansatz utiliza toda esta libertad y no es dinámico, debería ser puramente restrictivo. Tomando la derivada con respecto a $r$ del $G_{tt}$ componente del tensor de Einstein produce el $G_{\theta\theta}$ componente, mostrando que solo tiene una ecuación real.

No entiendo completamente cómo esto explica que la variación de la acción no funcione, pero sé cómo solucionarlo introduciendo un poco de libertad nuevamente. En su lugar, tome como un Ansatz

d s^{2} = - {norte}^{2} (t) F (r) d t^{2} + \frac{1}{F (r)} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2},

$ds^2 = -N^2(t) f(r) dt^2 + \frac{1}{f(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2 ,$

donde simplemente he añadido una función $N(t)$ . Después de algunas rondas de integración parcial, la acción será proporcional a

S \propto \int d r d t norte (- 1 + F + r F^{'})

$S \propto \int dr dt \, N \left( -1 + f + rf' \right)$

$N$ es una variable no dinámica, que aparece sin derivadas, y actúa como un multiplicador de Lagrange. Su ecuación de Euler-Lagrange hará cumplir la restricción correspondiente a la $G_{tt}$ componente de las ecuaciones de campo de Einstein, que luego puede resolver para finalmente encontrar la métrica de Schwarzschild. En un sentido, $N$ expresa la libertad que tenemos para elegir la coordenada de tiempo, que a su vez corresponde a la $G_{tt}$ ecuación de campo.

Esto es de hecho lo que estaba buscando! Muchas gracias de nuevo. Agregando el $N(t)$ calibre es brillante para este caso donde la función métrica solo depende de $r$ y no $t$ , por lo tanto no hay un $N'(t)$ . Me gustaría aclarar un punto: ¿Esto $N(t)$ trabajo de calibre para ansatz que contiene factor(es) dependiente(s) del tiempo, por ejemplo, la métrica FRLW con un $a(t)$ factor delante de la sección espacial? Ahora todo depende del tiempo, y $N(t)$ debe volverse dinámico en sí mismo, a menos que después de la variación de EL, tomemos el límite $N(t)\rightarrow 1, N'(t)\rightarrow 0$ ?
@ user195583 Pruébelo usted mismo con FLRW :) Encontrará que funciona igual de bien, con cualquier derivado de N que se pueda eliminar mediante integración parcial. Este método puede generalizarse y resulta que la relatividad general es, en cierto sentido, completamente no dinámica, es decir, consiste únicamente en restricciones. Las palabras clave aquí son "formalismo ADM" o "descomposición 3+1"
También funciona con FLRW :) Obtuve las 2 ecuaciones de Friedmann después de hacer la variación EL y tomar el límite $N(t)\rightarrow 1, N'(t)\rightarrow 0$ .

johnny longson · Answer 2

El problema en su derivación utilizando el principio de acción es que restringió enormemente el espacio de estado en el que se define su Lagrangiano. Adivinas que la métrica es de la forma

d s^{2} = - F (r) d t^{2} + F (r)^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω

$ds^2=-f(r)dt^2 + f(r)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega$ con

d Ω

$d\Omega$ el volumen de 2 esferas. Si observa el espacio de estados, es decir, el espacio de métricas en su variedad, las métricas de este formulario son solo un subespacio parametrizado por

f

$f$ . En su derivación, trató de variar en este subespacio del espacio de estados y, por lo tanto, introdujo restricciones a su sistema obligándolo a permanecer en la superficie de restricción. Sin embargo, no hay motivo para restringir nuestro sistema en este caso y es más fácil hacer una variación en el espacio de estado completo. Claro, la forma específica de la métrica se puede razonar por simetría, pero lidiar con restricciones puede complicar bastante las cosas.

Probablemente esta no sea la respuesta que esperabas, ¡pero espero que te ayude de todos modos!

¡Salud!

anomalía quiral · Answer 3

El número de ecuaciones que obtiene de la acción EH especializada (la que tiene el ansatz insertado antes de que se deriven las ecuaciones de Euler-Lagrange) no es realmente menor. Solo parece más pequeño porque las ecuaciones que obtienes para $f$ de la acción general EH son redundantes. El $(tt)$ ecuación implica que o bien $f=0$ o $-1+f+rf'=0$ , y ambos casos implican automáticamente $2f'+rf''=0$ , lo que a su vez implica la $(\theta\theta)$ ecuación.

Gracias ! Eso es cierto, como también señaló @Kasper anteriormente que el derivado de $G_{tt}$ rendimientos $G_{\theta\theta}$ . Entonces, en general, ¿hay alguna redundancia en las EFE en comparación con la acción especializada de EH? Creo que he observado esto en algunos casos con ansatze más generales (que involucran más función métrica $f_1(r), f_2(r)$ etc. ).
@user195583 Intuición: Vamos $A$ ser un ansatz que incluye una solución $X$ a las ecuaciones generales EL. Si comenzamos con las ecuaciones EL de la acción general y luego especializamos las ecuaciones EL a la ansatz $A$ , las ecuaciones EL especializadas resultantes normalmente serán redundantes. Intuitivamente, esto se debe a que el ansatz $A$ incluye una solución $X$ , por lo que se especializa a la ansatz $A$ implícitamente utiliza información de las ecuaciones EL generales, lo que las hace redundantes en algunos aspectos. Podemos evitar esa redundancia especializando primero la acción para $A$ y luego derivar las ecuaciones EL.

R. Está bien · Answer 4

R. Está bien

La función $f(r)$ no es el campo dinámico en juego aquí, es la métrica . Esto significa que no puedes simplemente derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange con respecto a $f$ , sino que se debe considerar la variación de la acción con respecto a la métrica, e igualarla a cero. Seguir este procedimiento le proporciona las ecuaciones de campo de vacío de Einstein (módulo de algunos problemas relacionados con el término límite), que de hecho son las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema.

usuario195583

No tengo ningún problema con la derivación formal de la variación de la acción de Einstein Hilbert, que se puede demostrar que conduce a las ecuaciones de campo de Einstein. Sin embargo, cuando trabajamos con un ansatz específico de la métrica, es la variable de la función métrica como f(r) la que es dinámica. Como puede ver en los EFE anteriores, f(r) es la variable dinámica en las ecuaciones de movimiento de segundo orden que se van a resolver. Por lo tanto, también debería funcionar con la acción de Einstein-Hilbert, lo que significa que su variación debería producir los mismos resultados que las EFE.

R. Está bien

f(r) no es más una variable dinámica que cualquier otro coeficiente métrico. La métrica no es una colección de objetos disjuntos, es un solo tensor y debe ser considerado como tal. hacer un ansatz no convierte el campo inherentemente tensorial en un campo escalar. Así, las ecuaciones de Euler-Lagrange de esta acción de campo tensorial, es decir, las ecuaciones de campo de Einstein, siguen siendo las ecuaciones de movimiento que describen el sistema.

Casper

Eso no es correcto, al variar la acción no hay razón por la cual solo la variación con respecto a los componentes métricos sea correcta. Toda variación posible tiene que ser cero.

R. Está bien

@Kasper ¿A quién dirige el dicho "Eso no está bien"?

Casper

Me temo que no estoy de acuerdo contigo @A.Ok

R. Está bien

@Kasper Eso pensó. pero no entiendo cuál es el desacuerdo. "Al variar la acción, no hay ninguna razón por la que solo la variación con los componentes de la métrica sea correcta", dice, pero esa es exactamente mi afirmación: "La métrica no es una colección de objetos separados, es un tensor único y debe ser considerado como tal", es decir, una variación de los componentes métricos por sí solos no es suficiente, "sino que debe considerar la variación de la acción con respecto a la métrica", como dije en mi respuesta.

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