La acción de Einstein y las segundas derivadas

Parece que OP está reflexionando sobre lo siguiente.

¿Qué sucede en una teoría de campo [en el caso de OP: GR] si el espacio-tiempo$M$tiene un límite no vacío$\partial M\neq \emptyset$, y no imponemos condiciones de contorno (BC) pertinentes (por ejemplo, Dirichlet) en los campos$\phi^{\alpha}(x)$[en el caso de OP: el tensor métrico$g_{\mu\nu}(x)$]?

I) En primer lugar, cabe destacar que cuando se dice que la variación infinitesimal$\delta S_0$de la acción$S_0[\phi]$[en el caso de OP: la acción de Einstein-Hilbert $S_{EH}$] se desvanece en el caparazón, es decir, cuando se cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange [en OP'case: ecuaciones de campo de Einstein], se supone implícitamente que las variaciones infinitesimales$\delta\phi^{\alpha}(x)$de los campos$\phi^{\alpha}(x)$solo tiene lugar en el interior/la mayor parte del espacio-tiempo$M$lejos de la frontera$\partial M$. En tales casos, la variación infinitesimal$\delta S_0$desaparece claramente en el caparazón, como parte del principio de acción estacionaria , también conocido como. Principio de Hamilton.

II) En segundo lugar, si la única finalidad de la variación infinitesimal$\delta\phi^{\alpha}(x)$es solo (re) derivar localmente las ecuaciones de movimiento (= las ecuaciones de Euler-Lagrange) en un punto interior / voluminoso$x_0$del espaciotiempo$M$, es suficiente elegir variaciones localizadas $\delta\phi^{\alpha}(x)$con apoyo en barrios compactos suficientemente pequeños alrededor de este punto$x_0$. En particular, se puede suponer que$\delta\phi^{\alpha}(x)$y todos sus derivados (superiores) se desvanecen en el límite$\partial M$para tales variaciones, y todavía derivar las ecuaciones de movimiento.

III) En tercer lugar, si no imponemos un BC adecuado, entonces la noción global de un derivado funcional

puede no existir, es decir, puede que no exista una función definida globalmente$^1$

tal que

para todas las variaciones infinitesimales permitidas$\delta\phi^{\alpha}(x)$. En lenguaje sencillo, el problema es que no podemos usar el argumento habitual de integración por partes al derivar la expresión de Euler-Lagrange, ya que no hemos impuesto suficiente BC para asegurar que los términos de frontera desaparezcan. Entonces, por lo general, se debe modificar la acción masiva$S_0$con una acción límite$S_1$[en el caso de OP: la acción límite de Gibbons-Hawking-York $^2$ $S_{GHY}$], que sólo vive en el límite$\partial M$. La acción total entonces dice$S_0+S_1$.

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$^1$Si la función (2) existe, es única y la llamaremos derivada funcional de$S_0$, y denótela con el símbolo (1).

$^2$Consulte también estas publicaciones de Phys.SE para obtener más información sobre el término límite de Gibbons-Hawking-York.