Ecuación de valor propio para energía cinética y potencial

En la parte superior de la figura tenemos$\:n+1\:$resortes ideales y$\:n\:$partículas en equilibrio. Las constantes de los resortes son$\:k_{\rho}\: (\rho=1,2,\cdots, n+1) \:$con longitudes de equilibrio$\:\ell_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n+1 )\:$y las masas de partículas$\:m_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n)$. Perturbando el sistema de este equilibrio, la ecuación de movimiento de la partícula$\:m_{\rho}\:$es

$$\begin{equation} m_{\rho}\ddot{x}_{\rho} =-k_{\rho}\left(x_{\rho}-x_{\rho-1} \right)+k_{\rho+1}\left(x_{\rho+1}-x_{\rho} \right) \tag{01} \end{equation}$$

dónde$\:x_{\rho}(t)\:$el desplazamiento de esta partícula desde su posición de equilibrio, ver en el medio de la figura anterior. Establecimos$\:x_{0}(t)=0\:$y$\:x_{n+1}(t)=0\:$para los puntos fijos extremos A y B respectivamente.

La ecuación (01) se puede escribir como

$$\begin{equation} m_{\rho}\ddot{x}_{\rho}-k_{\rho}x_{\rho-1} +\left(k_{\rho}+k_{\rho+1} \right)x_{\rho}-k_{\rho+1}x_{\rho+1}=0 \tag{02} \end{equation}$$

o

$$\begin{equation} \mathrm{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{K}\mathbf{x}=0 \tag{03} \end{equation}$$

dónde

$$\begin{equation} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} \tag{04} \end{equation}$$

$\:\mathrm{M}\:$el$\:n \times n\:$matriz diagonal

$$\begin{equation} \mathrm{M}= \begin{bmatrix} m_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & m_{2} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_{3} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & m_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & m_{n} \end{bmatrix} \tag{05} \end{equation}$$ y$\:\mathrm{K}\:$el$\:n \times n\:$matriz simétrica tridiagonal

$$\begin{equation} \mathrm{K}= \begin{bmatrix} (k_{1}+k_{2}) & -k_{2} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -k_{3} & (k_{3}+k_{4}) & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & (k_{n-1}+k_{n}) & -k_{n} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -k_{n} & (k_{n}+k_{n+1}) \end{bmatrix} \tag{06} \end{equation}$$

Ecuación (03) rendimientos

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\left(\mathrm{M}^{-1}\mathrm{K}\right)\mathbf{x}=0 \tag{08} \end{equation}$$

o

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{S}\mathbf{x}=0, \qquad \mathrm{S}\equiv \mathrm{M}^{-1}\mathrm{K} \tag{09} \end{equation}$$

Ahora si$\:\mathrm{S}=\mathrm{M}^{-1}\mathrm{K}\:$es diagonalizable con valores propios$\:\lambda_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n)$y$\:\mathrm{P}\:$una matriz invertible que la diagonaliza entonces

$$\begin{equation} \mathrm{P}^{-1}\mathrm{S} \mathrm{P} = \rm{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \tag{10} \end{equation}$$ Definición $$\begin{equation} \mathbf{y}\equiv\mathrm{P}^{-1}\mathbf{x} \tag{11} \end{equation}$$ y multiplicando (09) por$\:\mathrm{P}^{-1}\:$, tenemos $$\begin{equation} \ddot{\mathbf{y}}+\left(\mathrm{P}^{-1}\mathrm{S} \mathrm{P}\right)\mathbf{y}=0 \tag{12} \end{equation}$$

eso es$\:n \:$ ecuaciones diferenciales independientes

$$\begin{equation} \ddot{y}_{\rho}+\lambda_{\rho}y_{\rho}=0, \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{13} \end{equation}$$ Tenga en cuenta que tomando el producto interno de (03) con la "velocidad"$\:n-$vector$\:\dot{\mathbf{x}} \:$ $$\begin{equation} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} \dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\\ \dot{x}_{3}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n-1}\\ \dot{x}_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} \tag{14} \end{equation}$$

tenemos

$$\begin{equation} \langle\mathrm{M}\ddot{\mathbf{x}},\dot{\mathbf{x}}\rangle+\langle\mathrm{K}\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}\rangle=0 \tag{15} \end{equation}$$

esa es la ecuacion de conservacion de la energia

$$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d}t }\left[\frac12\langle\mathrm{M}\dot{\mathbf{x}},\dot{\mathbf{x}}\rangle+\frac12\langle\mathrm{K}\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle\right]=0 \tag{16} \end{equation}$$

relacionado con la pregunta.

Para el caso especial de una constante de resorte común$\:k_{\rho}=k \: (\rho=1,2,\cdots, n+1) \:$y masa de partícula común$\:m_{\rho}=m \: (\rho=1,2,\cdots, n) \:$, la ecuación (08) da

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\omega_{o}^{2}\,\mathrm{\Xi}\,\mathbf{x}=0 \tag{17} \end{equation}$$

dónde

$$\begin{equation} \omega_{o}\equiv \sqrt{\dfrac{k}{m}}= \textrm{fundamental frequency} \tag{18} \end{equation}$$

y$\:\mathrm{\Xi}\:$la siguiente$\:n \times n\:$matriz simétrica tridiagonal (un caso especial de las llamadas matrices de Toeplitz)

$$\begin{equation} \mathrm{\Xi}= \begin{bmatrix} 2& -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2& \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1& 2 \end{bmatrix} \tag{19} \end{equation}$$ con valores propios reales positivos

$$\begin{equation} \xi_{\rho}= 4\sin^{2}\left[ \rho\dfrac{\pi}{2(n+1)} \right]=2\Bigg(1-\cos\left[ \rho\dfrac{\pi}{(n+1)} \right]\Bigg), \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{20} \end{equation}$$

y vectores propios ⁽¹⁾ $\:\mathbf{e}_{\rho}\:$con$\:\sigma-$componente

$$\begin{equation} \left(\mathbf{e}_{\rho} \right)_{\sigma}=\sqrt{\dfrac{2}{n+1}}\sin\left( \rho \sigma \dfrac{\pi}{n+1} \right) , \quad \rho,\sigma=1,2,\cdots, n \tag{21} \end{equation}$$ En este caso especial el sistema de ecuaciones independientes (13) es

$$\begin{equation} \ddot{y}_{\rho}+\left(\xi_{\rho}\omega_{o}^{2}\right)y_{\rho}=0, \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{22} \end{equation}$$

eso es :

El movimiento de un sistema de$\:n\:$partículas de la misma masa$\:m\:$conectado por$\:n+1\:$resortes ideales de la misma constante$\:k\:$, véase la figura anterior, es la superposición de$\:n\:$oscilaciones armónicas independientes con frecuencias

$$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\omega_\rho=\sqrt{\xi_{\rho}}\omega_o=2\omega_o \sin\left[\rho\dfrac{\pi}{2(n+1)} \right],\:\:\omega_{o}\equiv \sqrt{\dfrac{k}{m}} , \:\: \rho=1,2,\cdots,n-1,n \tag{23} \end{equation}$$ como se muestra en la figura siguiente.

^{(1) Cualquiera$\:n \times n\:$¡La matriz de Toeplitz simétrica tridiagonal tiene los mismos vectores propios!}

EDITAR

Para otros casos más generales , a continuación se proporciona un teorema útil de "Matrix Theory" de Joel N.Franklin, sin cambios:

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Teorema Sea$\:\mathrm{M}\:$y$\:\mathrm{K}\:$ser$\:n \times n\:$Matrices hermitianas. Si$\:\mathrm{M}\:$definida positiva, entonces hay un$\:n \times n\:$matriz$\:\mathrm{C}\:$para cual

$$\begin{equation} \mathrm{C}^{*}\mathrm{M}\mathrm{C}=\mathrm{I} \quad \textrm{and} \quad \mathrm{C}^{*}\mathrm{K}\mathrm{C}=\Lambda= \rm{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \tag{t-17} \end{equation}$$

Los números$\:\lambda_{j}\:$Son reales. Si$\:\mathrm{K}\:$es definida positiva, la$\:\lambda_{j}\:$son positivos. El$\:\lambda_{j}\:$son valores propios generalizados que satisfacen

$$\begin{equation} \mathrm{K}\,c^{j}=\lambda_{j}\,\mathrm{M}\,c^{j}, \quad c^{j}\ne 0 \quad (j=1,\cdots, n) \tag{t-18} \end{equation}$$

Si$\:\mathrm{K}\:$y$\:\mathrm{M}\:$son reales, entonces una matriz real$\:\mathrm{C}\:$, con columnas$\:c^{j}\:$, puede ser encontrado satisfactorio (t-17) y (t-18).

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