Confundido sobre el comportamiento del sistema de masa de resorte

$\let\om=\omega \def\qt{{\textstyle {1 \over 4}}} \def\half{{\textstyle {1 \over 2}}}$Aquí está el tratamiento analítico. Dejar$x_1, x_2, x_3$sean los desplazamientos de las tres masas desde sus posiciones de equilibrio.$k$son constantes de resorte. Entonces las fuerzas actuantes son:

• en masa 1:$F_1 = k\,(x_2 - 2\,x_1)$
• en masa 2:$F_2 = k\,(x_1 + x_3 - 2\,x_2)$
• en masa 3:$F_3 = k\,(x_2 - 2\,x_3)$.

Hay 3 modos normales, fácilmente identificables por simetría:

• modo$a$: todas las masas oscilando en fase,$m_1$y$m_2$con igual amplitud,$m_3$con una amplitud posiblemente diferente (veremos que su amplitud es mayor)
• modo$b$:$m_1$y$m_3$oscilando en oposición, con amplitudes iguales;$m_2$estacionario
• modo$c$: como$a$pero$m_2$oscila en oposición.

En ecuaciones:

Modo$a$

$$x_1 = x_3 = a_1 \cos\om_a t \qquad x_2 = a_2 \cos\om_a t \quad (a_1, a_2 > 0).\tag1$$

Modo$b$

$$x_1 = -x_3 = b\,\cos\om_b t \qquad x_2 = 0.\tag2$$

Modo$c$

$$x_1 = x_3 = c_1 \cos\om_c t \qquad x_2 = c_2 \cos\om_c t \quad (c_1 > 0,\; c_2 < 0).\tag3$$

Entonces ves que las ecuaciones para los modos$a$y$c$son los mismos signos aparte para$a_2$,$c_2$. De hecho, encontraremos ambos en una sola toma. Tenga en cuenta que las ecs. (1), (2), (3) suponga que todas las velocidades iniciales son cero. De lo contrario, términos adicionales con$\sin\om_a t$etc. hubiera sido necesario.

Aplicar$F=ma$obtenemos para cada modo un sistema de tres ecuaciones.

Modo$a$

$$m\,\ddot x_1 = k\,(x_2 - 2\,x_1)$$ $$m\,\ddot x_2 = k\,(x_1 + x_3 - 2\,x_2)$$ (la tercera ecuación es inútil). $$-m\,\om_a^2 a_1 = k\,(a_2 - 2\,a_1) \tag4$$ $$-m\,\om_a^2 a_2 = k\,(2\,a_1 - 2\,a_2).$$ Divisor $${a_1 \over a_2} = {a_2 - 2\,a_1 \over 2\,a_1 - 2\,a_2}$$ $$a_1 (2\,a_1 - 2\,a_2) = a_2 (a_2 - 2\,a_1)$$ $$2\,a_1^2 = a_2^2$$ $$a_2 = \sqrt2\,a_1.$$

Modo$c$da las mismas ecuaciones pero debemos tomar

$$c_2 = -\sqrt2\,c_1.$$

Podemos usar (4) para encontrar$\om_a$y$\om_c$:

$$-m\,\om_a^2 a_1 = k\,a_1\,(\sqrt2 - 2)$$ $$\om_a = \sqrt{(2 - \sqrt2)\,{k \over m}}$$ $$\om_c = \sqrt{(2 + \sqrt2)\,{k \over m}}.$$

Modo$b$

$$m\,\ddot x_1 = -2\,k\,x_1$$ $$-m\,\om_b^2 b = -2\,k\,b$$ $$\om_b = \sqrt{2k \over m}.$$

vamos a resumir

$$\om_a = \sqrt{(2 - \sqrt2)\,{k \over m}} \qquad \om_b = \sqrt{2k \over m} \qquad \om_c = \sqrt{(2 + \sqrt2)\,{k \over m}}.$$

Modo$a$:

$$x_1 = a\,\cos\om_a t \qquad x_2 = a \sqrt2\,\cos\om_a t \qquad x_3 = a\,\cos\om_a t$$

Modo$b$:

$$x_1 = b\,\cos\om_b t \qquad x_2 = 0 \qquad x_3 = -b\,\cos\om_b t$$

Modo$c$:

$$x_1 = c\,\cos\om_c t \qquad x_2 = -c \sqrt2\,\cos\om_c t \qquad x_3 = c\,\cos\om_c t.$$

Solución general (con$\dot x_1(0) = \dot x_2(0) = \dot x_3(0) = 0$)

$$\eqalign{ x_1(t) &= a\,\cos\om_a t + b\,\cos\om_b t + c\,\cos\om_c t \cr x_2(t) &= a\,\sqrt2\,\cos\om_a t - c\,\sqrt2\,\cos\om_c t \cr x_3(t) &= a\,\cos\om_a t - b\,\cos\om_b t + c\,\cos\om_c t.\cr}$$

Nota : Seguí un método paso a paso, pero existe una forma más directa y general, válida para cualquier número de bolas. Este post ya es demasiado largo, sin embargo...

Una solución especial

Para que la solución sea satisfactoria$x_1(0) = x_2(0) = x_3(0) = 1$tenemos que encontrar$a$,$b$,$c$tal que

$$\eqalign{ a + b + c &= 1 \cr (a - c)\,\sqrt2 &= 1 \cr a - b + c &= 1 \cr}$$ es decir $$a = {2 + \sqrt2 \over 4} \qquad b = 0 \qquad c = {2 - \sqrt2 \over 4}.$$

Entonces

$$\eqalign{ x_1(t) = x_3(t) &= {2 + \sqrt2 \over 4}\,\cos\om_a t + {2 - \sqrt2 \over 4}\,\cos\om_c t \cr x_2(t) &= {1 + \sqrt2 \over 2}\,\cos\om_a t + {1 - \sqrt2 \over 2}\,\cos\om_c t.\cr}$$

Aquí hay gráficos:

http://www.sagredo.eu/temp/ball-spring-1.eps

Otra solución

Si$x_1(0) = 1 \ x_2(0) = x_3(0) = 0$entonces

$$\eqalign{ a + b + c &= 1 \cr (a - c)\,\sqrt2 &= 0 \cr a - b + c &= 0 \cr}$$ es decir $$a = c = \qt \qquad b = \half.$$

Entonces

$$\eqalign{ x_1(t) &= \qt \cos\om_a t + \half \cos\om_b t + \qt \cos\om_c t \cr x_2(t) &= {1 \over \sqrt2}\,(\cos\om_a t - \cos\om_c t).\cr x_3(t) &= \qt \cos\om_a t - \half \cos\om_b t + \qt \cos\om_c t.\cr}$$

Aquí hay gráficos:

http://www.sagredo.eu/temp/ball-spring-2.eps

Lo que estás viendo son "armónicos". Es la suma de múltiples ondas sinusoidales.

Cuando maneja un caso "simple", el sistema opera en un " modo ", con un solo armónico. Si lo desplaza de manera diferente, puede ver múltiplos de este armónico fundamental juntos.

De hecho, los guitarristas confían en esto para cambiar el tono de su música. Si tocan la cuerda más cerca del mástil de la guitarra, tiran de la cuerda en una forma que se parece mucho al armónico fundamental de la cuerda antes de soltarla. Esto hace que la mayor parte de la energía (y por lo tanto del sonido) se encuentre en esa fundamental. Si puntean más cerca del puente, la forma tiene un lado muy corto (el lado entre el dedo y el puente), lo que da lugar a muchos armónicos altos que dominan el sonido.

Para mí, los primeros gráficos son confusos. Francamente, sospecho que hay alguna falla en su código.

Veo las tres masas moviéndose de la misma manera. Pero si les da desplazamientos iniciales iguales, los resortes n.° 2 y n.° 3 no se deforman inicialmente. ¿Cómo puede la masa #2 comenzar a moverse exactamente como lo hacen los demás?

Sin duda, su sistema se puede resolver exactamente analíticamente. ¿Eres capaz de hacerlo?

Una sugerencia. Pruebe su código con una sola masa, luego con dos. ¿Qué esperas? ¿Qué dice tu simulación?